设在椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)上有一点P,它与两个焦点的连线互相垂直,求这个椭圆的离心率.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 18:23:48
![设在椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)上有一点P,它与两个焦点的连线互相垂直,求这个椭圆的离心率.](/uploads/image/z/11970178-34-8.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%9C%A8%E6%A4%AD%E5%9C%86X%5E2%2Fa%5E2%2BY%5E2%2Fb%5E2%3D1%28a%3Eb%3E0%29%E4%B8%8A%E6%9C%89%E4%B8%80%E7%82%B9P%2C%E5%AE%83%E4%B8%8E%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E7%84%A6%E7%82%B9%E7%9A%84%E8%BF%9E%E7%BA%BF%E4%BA%92%E7%9B%B8%E5%9E%82%E7%9B%B4%2C%E6%B1%82%E8%BF%99%E4%B8%AA%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87.)
设在椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)上有一点P,它与两个焦点的连线互相垂直,求这个椭圆的离心率.
设在椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)上有一点P,它与两个焦点的连线互相垂直,求这个椭圆的离心率.
设在椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)上有一点P,它与两个焦点的连线互相垂直,求这个椭圆的离心率.
可设点P(acost,bsint),(t∈R,且sint≠0).又F1(-c,0),F2(c,0).由题设可知,向量F1P·向量F2P=0.即(acost+c,bsint)·(acost-c,bsint)=0.===>a²cos²t-c²+b²sin²t=0.===>a²cos²t-c²+a²sin²t-c²sin²t=0.===>a²-c²=c²sin²t.===>1-e²=e²sin²t,===>e²=1/(1+sin²t).∴1/2≤e²<1.===>√2/2≤e<1.即椭圆的离心率e的取值范围是[√2/2,1).