在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b²+c²=a²+bc.①求角A的大小; ②若sinB·sinC=sin²A,试判断△ABC的形状.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 18:19:05
![在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b²+c²=a²+bc.①求角A的大小; ②若sinB·sinC=sin²A,试判断△ABC的形状.](/uploads/image/z/12411263-47-3.jpg?t=%E5%9C%A8%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2C%E8%A7%92A%2CB%2CC%E6%89%80%E5%AF%B9%E7%9A%84%E8%BE%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAa%2Cb%2Cc%2C%E4%B8%94b%26%23178%3B%2Bc%26%23178%3B%3Da%26%23178%3B%2Bbc.%E2%91%A0%E6%B1%82%E8%A7%92A%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F%3B+%E2%91%A1%E8%8B%A5sinB%C2%B7sinC%3Dsin%26%23178%3BA%2C%E8%AF%95%E5%88%A4%E6%96%AD%E2%96%B3ABC%E7%9A%84%E5%BD%A2%E7%8A%B6.)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b²+c²=a²+bc.①求角A的大小; ②若sinB·sinC=sin²A,试判断△ABC的形状.
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b²+c²=a²+bc.①求角A的大小; ②若sinB·sinC=sin²A,试判断△ABC的形状.
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b²+c²=a²+bc.①求角A的大小; ②若sinB·sinC=sin²A,试判断△ABC的形状.
(1)
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA
由已知b²+c²=a²+√3bc得a²=b²+c²-√3bc
2bccosA=√3bc
cosA=√3/2
A=π/6
sinAsinB=cos²(C/2)
sinAsinB=(1+cosC)/2
2sinAsinB=1-cos(A+B)
2sinAsinB=1-cosAcosB+sinAsinB
cosAcosB+sinAsinB=1
cos(A-B)=1
A-B=0 B=A=π/6
C=π-π/6-π/6=2π/3
(2)
三角形是等腰三角形,A=B,CM=BM=a/2=b/2
由余弦定理得
(√7)²=b²+(a/2)²-2b(a/2)cosC
b=a,C=2π/3代入,整理,得
7a²/4=7
a²=4
a=b=2
S△ABC=(1/2)absinC=(1/2)×2×2×sin(2π/3)=√3
(1)余弦定理:
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=1/2
A=60°
(2)由正弦定理
a/sina=b/sinb=c/sinc
sinB·sinC=sin²A
得到bc=a^2
b²+c²=a²+bc=2bc
(b-c)^2=0 得出b=c
又A=60°
所以三角形为等边三角形