已知函数f(x)满足下列条件:f(1/2)=1;f(xy)=f(x)+f(y);f(x)的值域为[-1,1].试证试证:1/4不在f(x)的定义域内.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 17:57:25
![已知函数f(x)满足下列条件:f(1/2)=1;f(xy)=f(x)+f(y);f(x)的值域为[-1,1].试证试证:1/4不在f(x)的定义域内.](/uploads/image/z/14335321-49-1.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E4%B8%8B%E5%88%97%E6%9D%A1%E4%BB%B6%3Af%281%2F2%29%3D1%3Bf%28xy%29%3Df%28x%29%2Bf%28y%29%3Bf%28x%29%E7%9A%84%E5%80%BC%E5%9F%9F%E4%B8%BA%5B-1%2C1%5D.%E8%AF%95%E8%AF%81%E8%AF%95%E8%AF%81%EF%BC%9A1%2F4%E4%B8%8D%E5%9C%A8f%28x%29%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E5%86%85.)
已知函数f(x)满足下列条件:f(1/2)=1;f(xy)=f(x)+f(y);f(x)的值域为[-1,1].试证试证:1/4不在f(x)的定义域内.
已知函数f(x)满足下列条件:f(1/2)=1;f(xy)=f(x)+f(y);f(x)的值域为[-1,1].试证
试证:1/4不在f(x)的定义域内.
已知函数f(x)满足下列条件:f(1/2)=1;f(xy)=f(x)+f(y);f(x)的值域为[-1,1].试证试证:1/4不在f(x)的定义域内.
用反证法
假设1/4在f(x)定义域内
则f(1/4)=f(1/2*1/2)=f(1/2)+f(1/2)=2>1
而f(x)∈[-1,1]
故假设不成立
故1/4不在定义域内
假设在定义域内
f(1/4)=f(1/2*1/2)=f(1/2)+f(1/2)=2f(1/2)=2
这与f(x)的值域为[-1,1]矛盾
因此假设不正确
∴1/4不在f(x)的定义域内
因为f(xy)=f(x)+f(y);∴
f(1/4)=f(1/2*1/2)=f(1/2)+f(1/2)=1+1=2
∵2不在[-1,1].∴1/4不在f(x)的定义域内.
反证法:
假设1/4在定义域内,由f(x)满足的关系式可知
f(1/4)=f(1/2)+f(1/2)=2>1
不满足f(x)的取值范围
故 1/4 不在定义域中