如图,在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA的外角的平分线,F为上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.(1)求证:△ABD为等腰三角形.(2)求证:AC•AF=DF•FE
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 21:34:51
![如图,在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA的外角的平分线,F为上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.(1)求证:△ABD为等腰三角形.(2)求证:AC•AF=DF•FE](/uploads/image/z/14708932-52-2.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E5%9C%86%E5%86%85%E6%8E%A5%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2CCD%E4%B8%BA%E2%88%A0BCA%E7%9A%84%E5%A4%96%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF%2CF%E4%B8%BA%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9%2CBC%3DAF%2C%E5%BB%B6%E9%95%BFDF%E4%B8%8EBA%E7%9A%84%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%BA%A4%E4%BA%8EE%EF%BC%8E%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E2%96%B3ABD%E4%B8%BA%E7%AD%89%E8%85%B0%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%EF%BC%8E%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AAC%26%238226%3BAF%3DDF%26%238226%3BFE)
如图,在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA的外角的平分线,F为上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.(1)求证:△ABD为等腰三角形.(2)求证:AC•AF=DF•FE
如图,在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA的外角的平分线,F为上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.
(1)求证:△ABD为等腰三角形.
(2)求证:AC•AF=DF•FE
如图,在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA的外角的平分线,F为上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于E.(1)求证:△ABD为等腰三角形.(2)求证:AC•AF=DF•FE
1、因CD为∠BCA的外角的平分线,有∠MCD=∠DCA,
又∠MCD=∠DAB (圆内接四边形对角和为180度,∠MCD+∠BCD=∠BCD+∠DAB=180)
∠DCA=∠DBA(圆性质:等弧对等角)
则∠DAB =∠DBA,故DB=DA,△ABD为等腰三角形.
2、由DB=DA,则弧BD=弧DA,而BC=AF,有弧BC=弧AF;
两者相减,有弧CD=弧DF(注:点F必须是在弧AD上,而不能在弧AB上,本题没有交代清楚,按图形做的解法),则CD=DF,∠CAD =∠DAF,
∠CDA=∠BDF(弧BC=弧AF),而∠BDF=∠FAE,故∠CDA=∠FAE
∠AFE= ∠DBA= ∠DCA,则△ACD与△EFA相似
故:AC/CD=FE/AF,而CD=DF
故AC•AF=DF•FE
分析:
(1)CD为∠BCA的外角的平分线得到∠MCD=∠ACD,求出∠MCD=∠DAB推出∠DBA=∠DAB即可;
(2)由BC=AF推出CD=DF和∠CDB=∠ADF,证△CDA≌△FDB,得到AC=BF,根据C D F B四点共圆和A F D B四点共圆,推出∠FAE=∠BDF和∠EFA=∠DFB,证△DBF∽△AEF,得到 AF/DF= EF/BF即可推出答案.
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分析:
(1)CD为∠BCA的外角的平分线得到∠MCD=∠ACD,求出∠MCD=∠DAB推出∠DBA=∠DAB即可;
(2)由BC=AF推出CD=DF和∠CDB=∠ADF,证△CDA≌△FDB,得到AC=BF,根据C D F B四点共圆和A F D B四点共圆,推出∠FAE=∠BDF和∠EFA=∠DFB,证△DBF∽△AEF,得到 AF/DF= EF/BF即可推出答案.
(1)
证明:由题意有∠MCD=∠ACD=∠DBA,
又∠MCD+∠BCD=∠DAB+∠BCD=180°,
∴∠MCD=∠DAB,
∴∠DAB=∠DBA即△.
ABD为等腰三角形.
(2)
由(1)知AD=BD,BC=AF,则弧AFD=弧BCD,弧AF=弧BC,
∴弧CD=弧DF,∴弧CD=弧DF…①
又BC=AF,∴∠BDC=∠ADF,∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA,即∠CDA=∠BDF,
而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°,∴∠FAE=∠BDF=∠CDA,
同理∠DCA=∠AFE
∴在△CDA与△FAE中,∠CDA=∠FAE,∠DCA=∠AFE,
∴△CDA∽△FAE,
∴即CD•EF=AC•AF
又由①有AC•AF=DF•EF命题即证
收起
∵∠DBA=∠DAB
∴弧AD=弧BD
又∵BC=AF
∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA
∴弧CD=弧DF
∴CD=DF
再由"圆的内接四边形外角等于它的内对角"知
∠AFE=∠DBA=∠DCA①,∠FAE=∠BDE
∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE
...
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∵∠DBA=∠DAB
∴弧AD=弧BD
又∵BC=AF
∴弧BC=弧AF、∠CDB=∠FDA
∴弧CD=弧DF
∴CD=DF
再由"圆的内接四边形外角等于它的内对角"知
∠AFE=∠DBA=∠DCA①,∠FAE=∠BDE
∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE② 由①②得△DCA∽△FAE
∴AC:FE=CD:AF
AC×AF=DF×FE
收起
如图