如图,已知三角形ABC的外接圆为圆O,P是CB延长线上一点,连接AP,且角PAB=角PCA,求证PA是圆O的切线.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/29 23:03:02
![如图,已知三角形ABC的外接圆为圆O,P是CB延长线上一点,连接AP,且角PAB=角PCA,求证PA是圆O的切线.](/uploads/image/z/2655422-62-2.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E7%9A%84%E5%A4%96%E6%8E%A5%E5%9C%86%E4%B8%BA%E5%9C%86O%2CP%E6%98%AFCB%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5AP%2C%E4%B8%94%E8%A7%92PAB%3D%E8%A7%92PCA%2C%E6%B1%82%E8%AF%81PA%E6%98%AF%E5%9C%86O%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF.)
如图,已知三角形ABC的外接圆为圆O,P是CB延长线上一点,连接AP,且角PAB=角PCA,求证PA是圆O的切线.
如图,已知三角形ABC的外接圆为圆O,P是CB延长线上一点,连接AP,且角PAB=角PCA,求证PA是圆O的切线.
如图,已知三角形ABC的外接圆为圆O,P是CB延长线上一点,连接AP,且角PAB=角PCA,求证PA是圆O的切线.
连接AO,并延长交圆O于D,连接CD
故:∠ACD=90°(直径所对的圆周角为90°)
因为∠DCB=∠BAD(同弧所对的圆周角相等),∠PAB=∠PCA
故:∠PAD=∠PAB+∠BAD=∠PCA+∠DCB=∠ACD=90°
故:PA⊥AO
故:PA是圆O的切线
证明:
连接A、B
∵∠PAB=∠PCA
∠A=∠A
∴△PAB∽△PCA
∴∠C=∠PAB
∴PA是圆O的切线(弦切角定理的逆定理:角的度数等于所夹弧度的一半的角为弦切角。)
证明:做直径AD,连接BD
∵AD是直径
∴∠ABD=90°
∴∠D+∠BAD=90°
∵∠D=∠C,∠C=∠PAB
∴∠BAD+∠PAB=90°
即∠PAD=90°
∴PA是⊙O的切线
PS:这个是弦切角定理的逆定理