如图,△ABC中,∠ACB=90°,ID⊥CB于D,IE⊥CA于E,IF⊥AB于F,且ID=IE=IF.(1)求证:四边形ECDI是正方形;(2)当CA=8,CB=15时,求ID的长
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 19:50:52
![如图,△ABC中,∠ACB=90°,ID⊥CB于D,IE⊥CA于E,IF⊥AB于F,且ID=IE=IF.(1)求证:四边形ECDI是正方形;(2)当CA=8,CB=15时,求ID的长](/uploads/image/z/2777001-33-1.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2C%E2%88%A0ACB%3D90%C2%B0%2CID%E2%8A%A5CB%E4%BA%8ED%2CIE%E2%8A%A5CA%E4%BA%8EE%2CIF%E2%8A%A5AB%E4%BA%8EF%2C%E4%B8%94ID%3DIE%3DIF.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ECDI%E6%98%AF%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%BD%93CA%3D8%2CCB%3D15%E6%97%B6%2C%E6%B1%82ID%E7%9A%84%E9%95%BF)
如图,△ABC中,∠ACB=90°,ID⊥CB于D,IE⊥CA于E,IF⊥AB于F,且ID=IE=IF.(1)求证:四边形ECDI是正方形;(2)当CA=8,CB=15时,求ID的长
如图,△ABC中,∠ACB=90°,ID⊥CB于D,IE⊥CA于E,IF⊥AB于F,且ID=IE=IF.
(1)求证:四边形ECDI是正方形;(2)当CA=8,CB=15时,求ID的长
如图,△ABC中,∠ACB=90°,ID⊥CB于D,IE⊥CA于E,IF⊥AB于F,且ID=IE=IF.(1)求证:四边形ECDI是正方形;(2)当CA=8,CB=15时,求ID的长
(1)证明:
由于ID⊥CB于D,IE⊥CA于E,IF⊥AB于F;
∠ACB=90°;
可知四边形ECDI为矩形;
又ID=IE=IF;
邻边相等的矩形为正方形,或者说由矩形邻边相等可以推出四边都相等.
证毕.
设ID=X;
CA=8,CB=15,可知AB=17(勾股定理);
又AE=8-X,BD=15-X;
连接AI,BI
可知:AI=√(8-X)^2+X^2,BI=√(15-X)^2+X^2
同样可得:AF=8-X,BF=15-X
AF+BF=23-2X=17
可得X=3
解毕.
其实可以有更好的辅助线法,不过这边不好上传,按代数法解,可以实现,
(1)因为,=∠ACB=90°,ID⊥CB于D,IE⊥CA于E所以四边形ECDI是矩形。又因为ID=IE,所以四边形ECDI是正方形
(2)因为ID=IF,ID⊥CB于D,IF⊥AB于F。所以BI平分角ABC。所以BD=BF,设ID=x,则BD=BF=15-x.同理AF=AE=8-x.又由勾股定理可知AB=17,所以AF+BF=17即8-x+15-x=17所以x=3,即ID=3
四边形ECDI中三个直角,所以角DIE是直角,又因为ID=IE,所以(1)成立
因为三个垂直且相等,所以I是ABC的内切圆圆心,所以AE=AF,BF=BD,CD=CE,
AB=17,设ID为x,CA-X+CB-X=AB,所以ID=3