已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为3 2 ,且经过点M(4,1).直线l:y=x+m交椭圆于A,B两不同的点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线l不过点M,求证:直线MA,MB与x轴围成等腰三角形.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 02:31:34
![已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为3 2 ,且经过点M(4,1).直线l:y=x+m交椭圆于A,B两不同的点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线l不过点M,求证:直线MA,MB与x轴围成等腰三角形.](/uploads/image/z/348285-21-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%9C%A8%E5%8E%9F%E7%82%B9%2C%E7%84%A6%E7%82%B9%E5%9C%A8x%E8%BD%B4%E4%B8%8A%2C%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87%E4%B8%BA3+2+%2C%E4%B8%94%E7%BB%8F%E8%BF%87%E7%82%B9M%EF%BC%884%2C1%EF%BC%89%EF%BC%8E%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%EF%BC%9Ay%3Dx%2Bm%E4%BA%A4%E6%A4%AD%E5%9C%86%E4%BA%8EA%2CB%E4%B8%A4%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84%E7%82%B9%EF%BC%8E%EF%BC%88%E2%85%A0%EF%BC%89%E6%B1%82%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%9B%EF%BC%88%E2%85%A1%EF%BC%89%E8%8B%A5%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E4%B8%8D%E8%BF%87%E7%82%B9M%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E7%9B%B4%E7%BA%BFMA%2CMB%E4%B8%8Ex%E8%BD%B4%E5%9B%B4%E6%88%90%E7%AD%89%E8%85%B0%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%EF%BC%8E)
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为3 2 ,且经过点M(4,1).直线l:y=x+m交椭圆于A,B两不同的点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线l不过点M,求证:直线MA,MB与x轴围成等腰三角形.
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为
3
2
,且经过点M(4,1).直线l:y=x+m交椭圆于A,B两不同的点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线l不过点M,求证:直线MA,MB与x轴围成等腰三角形.
(1)设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1,因为e=
3
2
,所以a2=4b2,又椭圆过点M(4,1),所以
16
a2
+
1
b2
=1,解得b2=5,a2=20,故椭圆方程为
x2
20
+
y2
5
=1(5分)
(2) 将y=x+m代入
x2
20
+
y2
5
=1并整理得5x2+8mx+4m2-20=0,△=(8m)2-20(4m2-20)>0得:5>m>-5.
设直线MA,MB斜率分别为k1和k2,只要证k1+k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2 =-
8m
5
,x1x2=
4m-20
5
k1+k2=
y1-1
x1-4
+
y2-1
x2-4
=
(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)
(x1-4)(x2-4)
分子=(x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4)
=2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1)
2(4m2-20)
5
-
8m(m-5)
5
-8(m-1)=0
因此MA,MB与x轴所围的三角形为等腰三角形.(14分)
为什么用K1+K2=0来证明等腰三角形,这个地方不懂,
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为3 2 ,且经过点M(4,1).直线l:y=x+m交椭圆于A,B两不同的点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线l不过点M,求证:直线MA,MB与x轴围成等腰三角形.
你可以以等腰三角形的底边为坐标原点,建立一个直角坐标系!那么等腰三角形的顶点就在y轴上了!在第一象限的那条等腰三角形的腰所在的直线,它与x轴有夹角.我们可以先假设这个夹角为a.那么这条腰所在直线斜率就是k1=tana.另外一条腰它是在第二象限的,所以它的斜率就是K2=tan(π-a).所以K1+K2=tana+tan(π-a)=0.懂否?
椭圆离心率咋能大于1呢,如果我没记错椭圆的离心率在(0,1)啊
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