设各项均为正数的数列{an}的前n项和为sn已知a1=1且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1对一切n∈正整数成立.若λ=1,求数列的通项公式.求λ的值,使数列an为等差数列.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 00:26:10
![设各项均为正数的数列{an}的前n项和为sn已知a1=1且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1对一切n∈正整数成立.若λ=1,求数列的通项公式.求λ的值,使数列an为等差数列.](/uploads/image/z/3928724-44-4.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%90%84%E9%A1%B9%E5%9D%87%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E7%9A%84%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8C%E4%B8%BAsn%E5%B7%B2%E7%9F%A5a1%3D1%E4%B8%94%28Sn%2B1%2B%CE%BB%29an%3D%28Sn%2B1%29an%2B1%E5%AF%B9%E4%B8%80%E5%88%87n%E2%88%88%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%E6%88%90%E7%AB%8B.%E8%8B%A5%CE%BB%3D1%2C%E6%B1%82%E6%95%B0%E5%88%97%E7%9A%84%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F.%E6%B1%82%CE%BB%E7%9A%84%E5%80%BC%2C%E4%BD%BF%E6%95%B0%E5%88%97an%E4%B8%BA%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97.)
设各项均为正数的数列{an}的前n项和为sn已知a1=1且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1对一切n∈正整数成立.若λ=1,求数列的通项公式.求λ的值,使数列an为等差数列.
设各项均为正数的数列{an}的前n项和为sn已知a1=1且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1对一切n∈正整数成立.
若λ=1,求数列的通项公式.
求λ的值,使数列an为等差数列.
设各项均为正数的数列{an}的前n项和为sn已知a1=1且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1对一切n∈正整数成立.若λ=1,求数列的通项公式.求λ的值,使数列an为等差数列.
(1)若λ=1,则(S(n+1)+λ)an=(Sn+1)a(n+1)两边除以ana(n+1)得
S(n+1)/a(n+1)+1/a(n+1)=Sn/an+1/an
∴Sn/an+1/an,是常数列.Sn/an+1/an=2
解得,Sn=2an-1,∴an=2^(n-1)
(2)a1=1,
n=1代入已知,得a2=1+λ
n=2代入已知,得a3=(1+λ)²
由an是等差数列.∴2a2=a1+a3,得λ=0
而当λ=0时,S(n+1)/a(n+1)=Sn/an+1/an
可以用归纳法证明an=1.
(I)当n=1时,a1=1满足题意
(II)假设an前k项为1,则由S(k+1)/a(k+1)=Sk/ak+1/ak,得
[ k+a(k+1)]/a(k+1)=k/1+1/1=k+1
所以a(k+1)=1,所以an前k+1项为1.
有归纳假设得,an=1
综上,当an为等差数列时,需λ=0,
当λ=0,an确实为等差数列,an=1
所以,使数列an为等差数列的λ的值为0.