设函数f(x)=ln(x+a)+x^2(1)若a=3/2,解关于x的不等式f(e^√x-3/2)n(m,n为方程的两根)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 21:31:14
![设函数f(x)=ln(x+a)+x^2(1)若a=3/2,解关于x的不等式f(e^√x-3/2)n(m,n为方程的两根)](/uploads/image/z/4052602-10-2.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dln%28x%2Ba%29%2Bx%5E2%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%8B%A5a%3D3%2F2%2C%E8%A7%A3%E5%85%B3%E4%BA%8Ex%E7%9A%84%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8Ff%EF%BC%88e%5E%E2%88%9Ax-3%2F2%EF%BC%89n%28m%2Cn%E4%B8%BA%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9A%84%E4%B8%A4%E6%A0%B9%29)
设函数f(x)=ln(x+a)+x^2(1)若a=3/2,解关于x的不等式f(e^√x-3/2)n(m,n为方程的两根)
设函数f(x)=ln(x+a)+x^2(1)若a=3/2,解关于x的不等式f(e^√x-3/2)n(m,n为方程的两根)
设函数f(x)=ln(x+a)+x^2(1)若a=3/2,解关于x的不等式f(e^√x-3/2)n(m,n为方程的两根)
第二问是证明?还是要求a的值?
求导,f ‘ (x) = 1/(x+a) + 2*x ,( x > -a )
(1)因为函数 f 较为复杂,解关于函数 f 的不等式一般要利用函数 f 的单调性.
a=3/2时,在函数 f 的定义域内,f ' (x) = 1/(x+3/2) + 2*x > 0 恒成立,即 f (x)是单调增函数.
因为 f (1/2)= ln2 + 1/4
所以 不等式 f(e^√x-3/2) -3/2
解得 0 √2
又因为,f(m)和f(n)分别是函数f(x)的极小值和极大值 ,m>n,m,n为方程的两根,
所以,两根要在 f 的定义域内,即
m > n > -a
即:n= - (a + √(a^2-2) )/2 > -a
可见,a不能为负数,而 a > √2 时,n > -a 一定成立,
现在,只要考察a > √2 时,f(m)和f(n)是否分别为函数f(x)的极小值和极大值.
因为a > √2 时,函数的导数f ‘ (x) = (2x^2+2ax+1)/ (x+a) 在(-a,n)上为正值,在(n,m)上为负值,在(m,+无穷)为正值,所以,f(m)和f(n)分别为函数f(x)的极小值和极大值.
因此,所求的a的取值范围为(根号2,正无穷)