如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是x轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ.当点P运动到原点O处时,记Q的位置为B.(1)求点B的坐标;(2)求证:当点P在x轴上运
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 18:32:34
![如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是x轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ.当点P运动到原点O处时,记Q的位置为B.(1)求点B的坐标;(2)求证:当点P在x轴上运](/uploads/image/z/4703008-40-8.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E7%9B%B4%E8%A7%92%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB%E4%B8%AD%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E7%82%B9A%EF%BC%880%2C2%EF%BC%89%2C%E7%82%B9P%E6%98%AFx%E8%BD%B4%E4%B8%8A%E4%B8%80%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%E4%BB%A5%E7%BA%BF%E6%AE%B5AP%E4%B8%BA%E4%B8%80%E8%BE%B9%2C%E5%9C%A8%E5%85%B6%E4%B8%80%E4%BE%A7%E4%BD%9C%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2APQ%EF%BC%8E%E5%BD%93%E7%82%B9P%E8%BF%90%E5%8A%A8%E5%88%B0%E5%8E%9F%E7%82%B9O%E5%A4%84%E6%97%B6%2C%E8%AE%B0Q%E7%9A%84%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E4%B8%BAB%EF%BC%8E%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E7%82%B9B%E7%9A%84%E5%9D%90%E6%A0%87%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E5%BD%93%E7%82%B9P%E5%9C%A8x%E8%BD%B4%E4%B8%8A%E8%BF%90)
如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是x轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ.当点P运动到原点O处时,记Q的位置为B.(1)求点B的坐标;(2)求证:当点P在x轴上运如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是x轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ.当点P运动到原点O处时,记Q的位置为B.
(1)求点B的坐标;
(2)求证:当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时,∠ABQ为定值;
(3)是否存在点P,使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是x轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ.当点P运动到原点O处时,记Q的位置为B.(1)求点B的坐标;(2)求证:当点P在x轴上运
(1)过点B作BC⊥y轴于点C,
∵A(0,2),△AOB为等边三角形,
∴AB=OB=2,∠BAO=60°,
∴BC=根3 ,OC=AC=1,
即B(根3,1 );
(2)当点P在x轴上运动(P不与O重合)时,不失一般性,
∵∠PAQ═∠OAB=60°,
∴∠PAO=∠QAB,
在△APO和△AQB中,
∵AP=AQ,∠PAO=∠QAB,AO=AB
∴△APO≌△AQB总成立,
∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立,
∴当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时,∠ABQ为定值90°;
(3)由(2)可知,点Q总在过点B且与AB垂直的直线上,可见AO与BQ不平行.
①当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,
此时,若AB∥OQ,四边形AOQB即是梯形,
当AB∥OQ时,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°.
又OB=OA=2,可求得BQ=根3 ,
由(2)可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=根3 ,
∴此时P的坐标为(-根3,0 ).
②当点P在x轴正半轴上时,点Q在B的上方,
此时,若AQ∥OB,四边形AOQB即是梯形,
当AQ∥OB时,∠ABQ=90°,∠QAB=∠ABO=60°.
又AB=2,可求得BQ=2根3 ,
由(2)可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=2根3 ,
∴此时P的坐标为(2根3,0 ).
综上,P的坐标为(-根3,0 )或(2根3,0 ).
(1)(√3,1)
(2)PA=AQ,AQ=AB,∠PAO+∠OAQ=∠BAQ+∠OAQ,所以∠PAO=∠BAQ.∠ABQ=∠AOP=90
(3)存在(—√3,0)