如图RT三角形ABC中∠ABC等于90°以AB为直径的圆O交AC于点D过点D做元O的切线DE叫交BC与E求证BE等于CE
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 14:12:08
![如图RT三角形ABC中∠ABC等于90°以AB为直径的圆O交AC于点D过点D做元O的切线DE叫交BC与E求证BE等于CE](/uploads/image/z/5035640-32-0.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BERT%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%E2%88%A0ABC%E7%AD%89%E4%BA%8E90%C2%B0%E4%BB%A5AB%E4%B8%BA%E7%9B%B4%E5%BE%84%E7%9A%84%E5%9C%86O%E4%BA%A4AC%E4%BA%8E%E7%82%B9D%E8%BF%87%E7%82%B9D%E5%81%9A%E5%85%83O%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BFDE%E5%8F%AB%E4%BA%A4BC%E4%B8%8EE%E6%B1%82%E8%AF%81BE%E7%AD%89%E4%BA%8ECE)
如图RT三角形ABC中∠ABC等于90°以AB为直径的圆O交AC于点D过点D做元O的切线DE叫交BC与E求证BE等于CE
如图RT三角形ABC中∠ABC等于90°以AB为直径的圆O交AC于点D过点D做元O的切线DE叫交BC与E求证BE等于CE
如图RT三角形ABC中∠ABC等于90°以AB为直径的圆O交AC于点D过点D做元O的切线DE叫交BC与E求证BE等于CE
证明:
联结BD,则由于AB是圆O的直径,∠BDA=90°,即BD⊥AC.
由于OB⊥BE,故EB是圆O的切线.
又因为ED是圆O的切线,故由切线长定理,EB=ED,E在线段BD的垂直平分线上.
设BC的中点为E',联结DE';那么由于DE'是Rt△BDC的中线,故E'D=E'B,E'也在BD的垂直平分线上.
但是BD的垂直平分线与BC只能有一个交点,因此E和E'重合.
因此BE=EC
连结OE, OD=OB(圆的半径相等)
∵DE与圆O相切,∠ABC等于90°
∴∠EDO=∠ABC=90° ,OD//EB
∴∠DOE=∠BEO(2直线平行,内错角相等)
∴DOE全等OEB
∴OD=EB
∴ABC相似OEB
∴∠OEB=∠ACB
∴ODCE是平行4边形
∴OD=CE
∴BE=CE
连接OD、BD,
OD=OB,∴∠OBD=∠ODB
∵直线DE与圆O相切,∴∠ODE是Rt△
又∵∠ABC是Rr△,
∴DBE=∠BDE
∴BE=DE
在Rt△BDC中,∠DBE+∠C=90°,
而∠BDE+∠CDE=90°,DBE=∠BDE
∴∠CDE=∠C
∴DE=CE
∴BE=CE
图是什么?
应该是:
连接OD,OE
∵DE是圆O的切线
∴OD⊥DE
∴∠ODE=∠OBE=90°
∵OB=OD(半径),OE=OE
∴△ODE≌△OBE
∴BE=DE