椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)焦点F1,F2,A椭圆上动点,弦AB,AC分别过F1,F2,当AC垂直于x轴时AF1=3AF2(1)求椭圆的离心率;(2)若向量AF1等于m倍的向量F1B,向量AF2等于n倍的向量F2C求m+n的值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 12:47:47
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椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)焦点F1,F2,A椭圆上动点,弦AB,AC分别过F1,F2,当AC垂直于x轴时AF1=3AF2(1)求椭圆的离心率;(2)若向量AF1等于m倍的向量F1B,向量AF2等于n倍的向量F2C求m+n的值.
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)焦点F1,F2,A椭圆上动点,弦AB,AC分别过F1,F2,当AC垂直于x轴时AF1=3AF2
(1)求椭圆的离心率;(2)若向量AF1等于m倍的向量F1B,向量AF2等于n倍的向量F2C
求m+n的值.
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)焦点F1,F2,A椭圆上动点,弦AB,AC分别过F1,F2,当AC垂直于x轴时AF1=3AF2(1)求椭圆的离心率;(2)若向量AF1等于m倍的向量F1B,向量AF2等于n倍的向量F2C求m+n的值.
(1)弦AC过F2且AC垂直于x轴,所以x(A)=c,
|AF1|=a+e*x(A)=a+ec,
|AF2|=a-e*x(A)=a-ec,
AF1=3AF2,即a+ec=3*(a-ec),两边同时除以a,得1+e^2=3(1-e^2),e^2=1/2,e=√ 2/2
(2)作出此椭圆的左准线,过点A、B分别作左准线的垂线,垂足分别为D、E,过点B作AD的垂线,垂足是H,且与x轴交于点M.设AF1=3t,则AF2=t,F1F2=2c=2√2t,也就是c=√2t.
由对称性易知,n=1;下面求m:设BF1=u.由相似得:BF1:BA=MF1:AH,其中BF1=u,BA=u+3t,MF1=c-BE=c-u/e=√2t-√2u,AH=AD-DH=(AF1)/e-BE=3√2t-√2u,解得:u=(3/5)t,m=|AF1|/|F1B|=(3t)/(3t/5)=5,m+n=5+1=6