一道数学题23已知抛物线y=-x²+2x,点P(1,3/4),点D(1/4,0).在抛物线上找一点F,使得△PDF的周长最小,求点F的坐标.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 13:37:25
![一道数学题23已知抛物线y=-x²+2x,点P(1,3/4),点D(1/4,0).在抛物线上找一点F,使得△PDF的周长最小,求点F的坐标.](/uploads/image/z/5525797-13-7.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%A2%9823%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFy%3D-x%26%23178%3B%2B2x%2C%E7%82%B9P%EF%BC%881%2C3%2F4%29%2C%E7%82%B9D%281%2F4%2C0%EF%BC%89.%E5%9C%A8%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF%E4%B8%8A%E6%89%BE%E4%B8%80%E7%82%B9F%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97%E2%96%B3PDF%E7%9A%84%E5%91%A8%E9%95%BF%E6%9C%80%E5%B0%8F%2C%E6%B1%82%E7%82%B9F%E7%9A%84%E5%9D%90%E6%A0%87.)
一道数学题23已知抛物线y=-x²+2x,点P(1,3/4),点D(1/4,0).在抛物线上找一点F,使得△PDF的周长最小,求点F的坐标.
一道数学题23
已知抛物线y=-x²+2x,点P(1,3/4),点D(1/4,0).在抛物线上找一点F,使得△PDF的周长最小,求点F的坐标.
一道数学题23已知抛物线y=-x²+2x,点P(1,3/4),点D(1/4,0).在抛物线上找一点F,使得△PDF的周长最小,求点F的坐标.
该抛物线的焦点是点P(1,3/4),准线是 y = 5/4 ,【本题要利用抛物线的几何意义来解】
过点F作 y = 5/4 的垂线,垂足为 H ,
抛物线上一点到焦点的距离等于到准线的距离,则有:FP = FH ;
要使△PDF的周长 = PD+DF+FP 最小,其中 PD 为定值,则要使 DF+FP 最小;
过点D作 y = 5/4 的垂线,垂足为 E ,
点到直线垂线段最短,则有:DE ≤ DF+FH = DF+FP ,
即有:当点F在DE上时,DF+FP 最小,
当 x = 1/4 时,y = -x²+2x = 7/16 ,
即有:点F的坐标为(1/4,7/16).
IPAI=√[(x-a)²+y²]
=√(x²-2ax+a²+4x)
=√[x²+(4-2a)x+a²]
=√[(x+2-a)²+4a-4]
所以x=a-2时
IPAI最小=f(a)=2√(a-1)
当1/3≤a≤5时
f(a)最小=f(1)=0
f(a)最大=f(5)=2√(5-1)=4