已知a、b为整数,且a大于b,方程3x^2+3(a+b)x+4ab=0的两个根α、β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1),试求所有的整数点对(a、b).
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 01:25:12
![已知a、b为整数,且a大于b,方程3x^2+3(a+b)x+4ab=0的两个根α、β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1),试求所有的整数点对(a、b).](/uploads/image/z/5637527-71-7.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%E3%80%81b%E4%B8%BA%E6%95%B4%E6%95%B0%2C%E4%B8%94a%E5%A4%A7%E4%BA%8Eb%2C%E6%96%B9%E7%A8%8B3x%5E2%2B3%28a%2Bb%29x%2B4ab%3D0%E7%9A%84%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E6%A0%B9%CE%B1%E3%80%81%CE%B2%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E5%85%B3%E7%B3%BB%E5%BC%8F%CE%B1%EF%BC%88%CE%B1%2B1%EF%BC%89%2B%CE%B2%EF%BC%88%CE%B2%2B1%EF%BC%89%3D%EF%BC%88%CE%B1%2B1%EF%BC%89%EF%BC%88%CE%B2%2B1%EF%BC%89%2C%E8%AF%95%E6%B1%82%E6%89%80%E6%9C%89%E7%9A%84%E6%95%B4%E6%95%B0%E7%82%B9%E5%AF%B9%EF%BC%88a%E3%80%81b%EF%BC%89.)
已知a、b为整数,且a大于b,方程3x^2+3(a+b)x+4ab=0的两个根α、β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1),试求所有的整数点对(a、b).
已知a、b为整数,且a大于b,方程3x^2+3(a+b)x+4ab=0的两个根α、β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1),试求所有的整数点对(a、b).
已知a、b为整数,且a大于b,方程3x^2+3(a+b)x+4ab=0的两个根α、β满足关系式α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1),试求所有的整数点对(a、b).
α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1),
α^2+α+β^2+β=αβ+α+β+1
α^2+β^2=αβ+1
(α+β)^2=3αβ+1
(a+b)^2=3*4ab/3+1
(a+b)^2=4ab+1
(a-b)^2=1
因为a大于b,所以,a=b+1
因为有两个不等根,所以:
△=(3(a+b))^2-4*3*4ab>0
3a^2+6ab+3b^2-16ab>0
3a^2-10ab+3b^2>0
(3a-b)(a-3b)>0
因为a大于b,所以,3a-b>0,所以,a-3b>0
所以,a>3b
所以,b+1>3b
2b
上面的不大对呀。
因为α2+α+β2+β=αβ+α+β+1,
所以α2+β2-αβ-1=0,
所以(α+β)2-3αβ-1=0①,
α+β=-a-b,αβ=4ab /3
代入①得(a+b)2-4ab-1=0,
所以(a-b)2=1,
a-b=±1,
而a>b,
所以a-b=1,所以a=b+1,
在原方程中,△=9(...
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上面的不大对呀。
因为α2+α+β2+β=αβ+α+β+1,
所以α2+β2-αβ-1=0,
所以(α+β)2-3αβ-1=0①,
α+β=-a-b,αβ=4ab /3
代入①得(a+b)2-4ab-1=0,
所以(a-b)2=1,
a-b=±1,
而a>b,
所以a-b=1,所以a=b+1,
在原方程中,△=9(a+b)2-4×4ab×3≥0,
整理,并把a=b+1代进去可知4b2+4b≤3,
两边加1 并用平方和公式知:
(2b+1)2≤4;
所以-2≤2b+1≤2,
而b为整数,
b=-1或0,
当b=-1时,
a=0合题意
b=0,a=1合题意。
所以(a,b)=(0,-1)或(1,0).
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由已知得出,α+β=-(a+b) α*β=4ab/3,
由α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)得到α^2+β^2=α*β+1
所以(α+β)^2=3α*β+1推出(a+b)^2=4a*b+1推出(a+b)^2=1
所以a+b=1 或a+b=-1 由已知a、b为整数,且a大于b,
所有的整数点对(a、b)可以是(1,0)、(2,-1)……
(0,...
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由已知得出,α+β=-(a+b) α*β=4ab/3,
由α(α+1)+β(β+1)=(α+1)(β+1)得到α^2+β^2=α*β+1
所以(α+β)^2=3α*β+1推出(a+b)^2=4a*b+1推出(a+b)^2=1
所以a+b=1 或a+b=-1 由已知a、b为整数,且a大于b,
所有的整数点对(a、b)可以是(1,0)、(2,-1)……
(0,-1)、(1,-2)……
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