limf(x)(x趋向于0)=f(0)=1,f(2x)-f(x)=x^2,求f(x)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 13:09:55
![limf(x)(x趋向于0)=f(0)=1,f(2x)-f(x)=x^2,求f(x)](/uploads/image/z/6123340-28-0.jpg?t=limf%EF%BC%88x%EF%BC%89%EF%BC%88x%E8%B6%8B%E5%90%91%E4%BA%8E0%EF%BC%89%3Df%EF%BC%880%EF%BC%89%3D1%2Cf%EF%BC%882x%EF%BC%89-f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Dx%5E2%2C%E6%B1%82f%EF%BC%88x%EF%BC%89)
limf(x)(x趋向于0)=f(0)=1,f(2x)-f(x)=x^2,求f(x)
limf(x)(x趋向于0)=f(0)=1,f(2x)-f(x)=x^2,求f(x)
limf(x)(x趋向于0)=f(0)=1,f(2x)-f(x)=x^2,求f(x)
f(2x)-f(x)=x^2
故:f(x)-f(x/2)=(x/2)^2
f(x/2)-f(x/4)=(x/4)^2
……
f(x/2^(n-1))-f(x/2^n)=(x/2^n)^2(n∈N+)
以上各式相加:f(x)-f(x/2^n)=x^2*(1/4+1/16+……+1/2^(2n))
由等比求和公式得:f(x)-f(x/2^n)=x^2*(1-1/4^n)/3
等号两边同加极限n→+∞,得:
f(x)-limf(x/2^n)=(x^2)/3
f(x)=(x^2)/3+f(0)=(x^2)/3+1
即:f(x)=(x^2)/3+1
检验:f(2x)-f(x)=(4x^2)/3+1-(x^2)/3-1=(3/3)x^2=x^2……符合
故:f(x)=(x^2)/3+1
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