已知函数f(x)=x²+ax+b满足0≤p≤1,p+q=1,证明pf(x)+qf(y)≥f(px+qy).
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 14:29:36
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已知函数f(x)=x²+ax+b满足0≤p≤1,p+q=1,证明pf(x)+qf(y)≥f(px+qy).
已知函数f(x)=x²+ax+b满足0≤p≤1,p+q=1,证明pf(x)+qf(y)≥f(px+qy).
已知函数f(x)=x²+ax+b满足0≤p≤1,p+q=1,证明pf(x)+qf(y)≥f(px+qy).
(注意随时使用条件:0≤p≤1,p+q=1)
我们恒有:(x-y)²≥0
所以:x²+y²≥2xy ==>
pqx²+pqy²≥2pqxy ==>
p(1-p)x²+(1-q)qy²≥2pqxy ==>
px²+qy²≥p²x²+2pqxy+q²y² ==>
(px²+qy²)+(pax+qay)+(pb+qb)≥(px+qy)²+(pax+qay)+b ==>
p(x²+ax+b)+q(y²+ay+b)≥(px+qy)²+a(px+qy)+b ==>
pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)
证毕.
∵当p=0时,q=1,则pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)成立, p²。
当q=0时,p=1,则pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)成立。
∴设0
∴p-p²>0 。
∵ x²+y²≥2xy
∴(p-p²)(x²+y²)≥2(p-p²)xy
...
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∵当p=0时,q=1,则pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)成立, p²。
当q=0时,p=1,则pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)成立。
∴设0
∴p-p²>0 。
∵ x²+y²≥2xy
∴(p-p²)(x²+y²)≥2(p-p²)xy
(p-p²)x²+(p-p²)y²≥2p(1-p)xy
将q=1-p代入,化简得 (p-p²)x²+(q-q²)y²≥2pqxy
∴px²+qy²≥p²x²+q²y²+2pqxy
∴px²+qy²≥(px+qy)²
∴ p(x²+ax+b)+q(y²+ay+b)≥(px+qy)²+a(px+qy)+b
∴pf(x)+qf(y)≥f(px+qy) 。
故当0≤p≤1,p+q=1时,pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)成立。
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