已知集合A={x|x=cos²(2n-1)*π/m,n∈z},当m=4022时,集合A中元素的个数为?求具体过程.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 17:54:05
![已知集合A={x|x=cos²(2n-1)*π/m,n∈z},当m=4022时,集合A中元素的个数为?求具体过程.](/uploads/image/z/6908989-13-9.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E9%9B%86%E5%90%88A%3D%7Bx%7Cx%3Dcos%26%23178%3B%EF%BC%882n-1%29%2A%CF%80%2Fm%2Cn%E2%88%88z%7D%2C%E5%BD%93m%3D4022%E6%97%B6%2C%E9%9B%86%E5%90%88A%E4%B8%AD%E5%85%83%E7%B4%A0%E7%9A%84%E4%B8%AA%E6%95%B0%E4%B8%BA%3F%E6%B1%82%E5%85%B7%E4%BD%93%E8%BF%87%E7%A8%8B.)
已知集合A={x|x=cos²(2n-1)*π/m,n∈z},当m=4022时,集合A中元素的个数为?求具体过程.
已知集合A={x|x=cos²(2n-1)*π/m,n∈z},当m=4022时,集合A中元素的个数为?求具体过程.
已知集合A={x|x=cos²(2n-1)*π/m,n∈z},当m=4022时,集合A中元素的个数为?求具体过程.
首先cos2A = [cos(2A)+1]/2由此转化为A={x|x=(t+1)/2,t=cos(4n-2)*π/m,n∈z},因此我们只需看有多少个不同的t.同时:不同的t = 所有的t - 相同的t
注意到t是一个cos函数,因此观察cos内部:(2n-1)*π/2011 = (2n-1)/2011π.
因为n∈z因此2n-1为所有奇数.由于cos函数的特性使得我们只需要让 π落在[0,2π]上【若存在一个n使得(2n-1)/2011π>2π则这个n必对应一个m使得(2m-1)/2011π属于[0,2π]】.
为此得到一个不等式0<(2n-1)/2011<=2解得0
cos函数的另一个性质:在[0,2π]上的a,b,若a+b=2π,则cosa = cosb
因此n=1和n=2011重复,n=2和n=2008重复……共重复1005个
所以不同的t共1006个.
因此得到了A中元素个数为1006.