设实数a,b,c满足a^2+b^2+c^2=1.求(a+b+c)^2的最大值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 00:47:37
![设实数a,b,c满足a^2+b^2+c^2=1.求(a+b+c)^2的最大值](/uploads/image/z/8456402-2-2.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%AE%9E%E6%95%B0a%2Cb%2Cc%E6%BB%A1%E8%B6%B3a%5E2%2Bb%5E2%2Bc%5E2%3D1.%E6%B1%82%EF%BC%88a%2Bb%2Bc%EF%BC%89%5E2%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC)
设实数a,b,c满足a^2+b^2+c^2=1.求(a+b+c)^2的最大值
设实数a,b,c满足a^2+b^2+c^2=1.求(a+b+c)^2的最大值
设实数a,b,c满足a^2+b^2+c^2=1.求(a+b+c)^2的最大值
因为(a-b)^2=a^2+b^2-2abd≥0所以2ab≤a^2+b^2,同理2ac≤a^2+c^2,2bc≤c^2+b^2,所以
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc≤a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+a^2+c^2+c^2+b^2=
3(a^2+b^2+c^2)=3所以(a+b+c)^2的最大值为3
柯西不等式
1/3*(1+1+1)*(a^2+b^2+c^2)≥1/3*(a+b+c)^2
所以是3
由柯西不等式有(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)≥(a*1+b*1+c*1)^2
即1*3≥(a+b+c)^2
那么(a+b+c)^2的最大值是3
如果不知道柯西不等式请百科一下
如果不懂,请Hi我,祝学习愉快!