在平面直角坐标系xoy中,点P到两点(0,负根号3),(0,根号3)的距离之和等于4,设点P轨迹为C(1)写出C的方程(2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时,向量OA垂直于向量OB?(3)若点A在第一象限,证
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 17:26:03
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在平面直角坐标系xoy中,点P到两点(0,负根号3),(0,根号3)的距离之和等于4,设点P轨迹为C(1)写出C的方程(2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时,向量OA垂直于向量OB?(3)若点A在第一象限,证
在平面直角坐标系xoy中,点P到两点(0,负根号3),(0,根号3)的距离之和等于4,设点P轨迹为C
(1)写出C的方程
(2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时,向量OA垂直于向量OB?
(3)若点A在第一象限,证明:当k>0时,恒有OA>OB
各位哥哥姐姐们,前两题都OK,主要是第三题的证明,搜索了很久,就是没有第三小题的证明.
在平面直角坐标系xoy中,点P到两点(0,负根号3),(0,根号3)的距离之和等于4,设点P轨迹为C(1)写出C的方程(2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时,向量OA垂直于向量OB?(3)若点A在第一象限,证
第三问证明如下:
由第一问易得:
点P的轨迹方程为:x^2+y^2/4=1,是焦点在y轴上的椭圆;
直线y=kx+1过定点(0,1).
设A(X1,Y1),B(X2,Y2),
由题设,X1>0,k>0,则必有X2|OB |只要证|OA|^2>|OB |^2即可
|OA|^2-|OB |^2
=|向量OA|^2-|向量OB |^2
=(向量OA+向量OB )*(向量OA-向量OB )
=(X1+X2,Y1+Y2)*(X1-X2,Y1-Y2)
=X1^2-X2^2+Y1^2-Y2^2
=X1^2-X2^2+4-4X1^2-4+4X2^2(点在椭圆上)
=-3(X1^2-X2^2)
=-3(X1+X2)*(X1-X2)
X1>0,则X20
又由上知道X1+X2=-2k/(4+k^2)
而已知k>0,所以X1+X20
所以|OA|^2>|OB |^2
所以|OA|>|OB |
问题得证.
你说第一问第二问没问题,我也就实实在在没解第一第二问,只证了第三问.供你参考
其实后来想想,完全可以不用向量来解,只要用个两点间的距离公式就可以.那样也很简单.