关于数列和圆锥曲线的数学题设直线l n:y=1/(n+1)(n属于正整数)与椭圆x^2/2+y^2=1在第一象限内相交于An(xn,yn),记an=1/2*xn^2,试证明:对所有n属于正整数皆有,a1*a2……an>1/2
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 19:46:38
![关于数列和圆锥曲线的数学题设直线l n:y=1/(n+1)(n属于正整数)与椭圆x^2/2+y^2=1在第一象限内相交于An(xn,yn),记an=1/2*xn^2,试证明:对所有n属于正整数皆有,a1*a2……an>1/2](/uploads/image/z/10115110-46-0.jpg?t=%E5%85%B3%E4%BA%8E%E6%95%B0%E5%88%97%E5%92%8C%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E7%9A%84%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%A2%98%E8%AE%BE%E7%9B%B4%E7%BA%BFl+n%3Ay%3D1%2F%28n%2B1%29%28n%E5%B1%9E%E4%BA%8E%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%EF%BC%89%E4%B8%8E%E6%A4%AD%E5%9C%86x%5E2%2F2%2By%5E2%3D1%E5%9C%A8%E7%AC%AC%E4%B8%80%E8%B1%A1%E9%99%90%E5%86%85%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8EAn%28xn%2Cyn%29%2C%E8%AE%B0an%3D1%2F2%2Axn%5E2%2C%E8%AF%95%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E5%AF%B9%E6%89%80%E6%9C%89n%E5%B1%9E%E4%BA%8E%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%E7%9A%86%E6%9C%89%2Ca1%2Aa2%E2%80%A6%E2%80%A6an%3E1%2F2)
关于数列和圆锥曲线的数学题设直线l n:y=1/(n+1)(n属于正整数)与椭圆x^2/2+y^2=1在第一象限内相交于An(xn,yn),记an=1/2*xn^2,试证明:对所有n属于正整数皆有,a1*a2……an>1/2
关于数列和圆锥曲线的数学题
设直线l n:y=1/(n+1)(n属于正整数)与椭圆x^2/2+y^2=1在第一象限内相交于An(xn,yn),记an=1/2*xn^2,试证明:对所有n属于正整数皆有,a1*a2……an>1/2
关于数列和圆锥曲线的数学题设直线l n:y=1/(n+1)(n属于正整数)与椭圆x^2/2+y^2=1在第一象限内相交于An(xn,yn),记an=1/2*xn^2,试证明:对所有n属于正整数皆有,a1*a2……an>1/2
由直线ln:y=1/(n+1)(n属于正整数)与椭圆x^2/2+y^2=1在第一象限内相交于An(xn,yn),
则1/2xn^2=1-1/(n+1)^2, 又an=1/2*xn^2, 则an=1-1/(n+1)^2=n(n+2)/(n+1)^2.
于是a1*a2……an=[1*(1+2)/(1+1)^2]*[2(2+2)/(2+1)^2]*[3(3+2)/(3+1)^2]*.[(n-2)n/(n-1)^2]*[(n-1)(n+1)/n^2]*[n(n+2)/(n+1)^2]=(1/2)[(n+2)/(n+1)]>1/2.【各个分式的分子分母可相互消去】
因此,对所有n属于正整数皆有,a1*a2……an>1/2.
an=1/2*xn^2=1-yn^2=(1-1/n+1)(1+1/n+1)
a1*a2……an=(1-1/2)【(1+1/2)(1-1/3)】【(1+1/3)……】(1+1/n+1)
容易证明第一项和最后一项乘积>1/2
中间的因子,两两乘积都大于1,
所以a1*a2……an>1/2成立。
联立直线与圆的方程求解后代入公式直接验证就行