如图,圆柱的高为2,底面半径为3,AE,DF是圆柱的两条母线,B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形.(1)求证:BC⊥BE;(2)求正方形ABCD的边长;(3)求直线EF与平面ABF所成角的正弦值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 15:29:40
![如图,圆柱的高为2,底面半径为3,AE,DF是圆柱的两条母线,B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形.(1)求证:BC⊥BE;(2)求正方形ABCD的边长;(3)求直线EF与平面ABF所成角的正弦值.](/uploads/image/z/10797980-68-0.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%86%E6%9F%B1%E7%9A%84%E9%AB%98%E4%B8%BA2%2C%E5%BA%95%E9%9D%A2%E5%8D%8A%E5%BE%84%E4%B8%BA3%2CAE%2CDF%E6%98%AF%E5%9C%86%E6%9F%B1%E7%9A%84%E4%B8%A4%E6%9D%A1%E6%AF%8D%E7%BA%BF%2CB%E3%80%81C%E6%98%AF%E4%B8%8B%E5%BA%95%E9%9D%A2%E5%9C%86%E5%91%A8%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD%E6%98%AF%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ABC%E2%8A%A5BE%3B%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2ABCD%E7%9A%84%E8%BE%B9%E9%95%BF%EF%BC%9B%EF%BC%883%EF%BC%89%E6%B1%82%E7%9B%B4%E7%BA%BFEF%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABF%E6%89%80%E6%88%90%E8%A7%92%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E5%80%BC.)
如图,圆柱的高为2,底面半径为3,AE,DF是圆柱的两条母线,B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形.(1)求证:BC⊥BE;(2)求正方形ABCD的边长;(3)求直线EF与平面ABF所成角的正弦值.
如图,圆柱的高为2,底面半径为3,AE,DF是圆柱的两条母线,B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形.(1)求证:BC⊥BE;(2)求正方形ABCD的边长;(3)求直线EF与平面ABF所成角的正弦值.主要是第2,3问.发个手写的照片我想会更好;
如图,圆柱的高为2,底面半径为3,AE,DF是圆柱的两条母线,B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形.(1)求证:BC⊥BE;(2)求正方形ABCD的边长;(3)求直线EF与平面ABF所成角的正弦值.
分析:(I)根据AE⊥底面BEFC,可得AE⊥BC,而AB⊥BC,又AE∩AB=A满足线面垂直的判定定理所需条件,则BC⊥面ABE,根据线面垂直的性质可知BC⊥BE;
(II)根据题意可知四边形EFBC为矩形则BF为圆柱下底面的直径,设正方形ABCD的边长为x,根据BE2+EF2=BF2,建立方程,解之即可求出所求;
(III)以F为原点建立空间直角坐标系,求出面AEF的法向量
n,然后求出法向量与向量EF的余弦值即可求出直线EF与平面ABF所成角的正弦值.
(I)∵AE是圆柱的母线∴AE⊥底面BEFC,(1分)
又BC⊂面BEFC∴AE⊥BC(2分)
又∵ABCD是正方形∴AB⊥BC
又AE∩AB=A∴BC⊥面ABE(3分)
又BE⊂面ABE∴BC⊥BE(4分)
(II)∵四边形AEFD为矩形,且ABCD是正方形∴EF∥BC
∵BC⊥BE∴四边形EFBC为矩形∴BF为圆柱下底面的直径(1分)
设正方形ABCD的边长为x,则AD=EF=AB=x
在直角△AEB中AE=2,AB=x,且BE2+AE2=AB2,得BE2=x2-4
在直角△BEF中BF=6,EF=x,且BE2+EF2=BF2,的BE2=36-x2(2分)
解得x=25,即正方形ABCD的边长为253分)
(III)如图以F为原点建立空间直角坐标系,
则A(25,0,2),B(25,4,0),E(25,0,0),
FA=(25,0,2),
FB=(25,4,0),
FE=(25,0,0)(1分)
设面AEF的法向量为
n=(x,y,z),则
n•FA=(x,y,z)•(25,0,−2)=2
5x−2z=0
n•FB
=(x,y,z)•(25,4,0)=25x−4y=0(3分)
令x=1,则y=52
,
z=5,即
n=(1,
5
2
,
5
)(4分)
设直线EF与平面ABF所成角的大小为θ,则sinθ=|COS<
n
,
EF
>|=|
n
•
EF
|
n
|•|
EF
|
|=|
25
25
•
5
4
+1+5
|=
229
29
(6分)
所以直线EF与平面ABF所成角的正弦值为
229
29