直线经过点(2,1),与两坐标轴的正半轴相交,求这条直线与坐标轴围成的三角形的周长的最小值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 19:50:31
![直线经过点(2,1),与两坐标轴的正半轴相交,求这条直线与坐标轴围成的三角形的周长的最小值.](/uploads/image/z/11419665-33-5.jpg?t=%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E7%BB%8F%E8%BF%87%E7%82%B9%EF%BC%882%2C1%EF%BC%89%2C%E4%B8%8E%E4%B8%A4%E5%9D%90%E6%A0%87%E8%BD%B4%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%8D%8A%E8%BD%B4%E7%9B%B8%E4%BA%A4%2C%E6%B1%82%E8%BF%99%E6%9D%A1%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E4%B8%8E%E5%9D%90%E6%A0%87%E8%BD%B4%E5%9B%B4%E6%88%90%E7%9A%84%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E7%9A%84%E5%91%A8%E9%95%BF%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC.)
直线经过点(2,1),与两坐标轴的正半轴相交,求这条直线与坐标轴围成的三角形的周长的最小值.
直线经过点(2,1),与两坐标轴的正半轴相交,求这条直线与坐标轴围成的三角形的周长的最小值.
直线经过点(2,1),与两坐标轴的正半轴相交,求这条直线与坐标轴围成的三角形的周长的最小值.
设三角形三个顶点坐标分别为O(0,0),A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0
设角OAB=α,α∈(0,π/2),则:
OA=a=2+1/tanα
OB=b=1+2tanα
AB=1/sinα+2/cosα
周长=OA+AB+BO=3+1/tanα+2tanα+1/sinα+2/cosα
=1+(3tan(α/2)+1)/(tan(α/2)-(tan(α/2))^2)
令tan(α/2)=x,x∈(0,1),则:
周长=1+(3x+1)/(x-x^2)
=1+3/(5/3-(x+1/3+(4/9)/(x+1/3)))
>=1+3/(5/3-4/3)=10
当且仅当x+1/3=(4/9)/(x+1/3)时,即x=1/3时,周长取最小值10.
此时A(10/3,0),B(0,5/2)
三角形的周长为:x+y+√(x^2+y^2)≤x+y+√2(x+y)/2=(1+√2/2)(x+y),当x=y时不等式左边的值最大。
设过点的直线方程为y=ax+b,即1=2a+b。
又因为x=y时,周长最小,则直线交坐标轴的值相等,可得直线方程的a=-1,b=2,因此叫两轴分别为x=3,y=3;
周长=(1+√2/2)(3+3)=6+3√2...
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三角形的周长为:x+y+√(x^2+y^2)≤x+y+√2(x+y)/2=(1+√2/2)(x+y),当x=y时不等式左边的值最大。
设过点的直线方程为y=ax+b,即1=2a+b。
又因为x=y时,周长最小,则直线交坐标轴的值相等,可得直线方程的a=-1,b=2,因此叫两轴分别为x=3,y=3;
周长=(1+√2/2)(3+3)=6+3√2
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设三角形三个顶点坐标分别为O(0,0),A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0
设角OAB=α,α∈(0,π/2),则:
OA=a=2+1/tanα
OB=b=1+2tanα
AB=1/sinα+2/cosα
周长=OA+AB+BO=3+1/tanα+2tanα+1/sinα+2/cosα
=1+(3tan(α/2)+1)/(tan(α/2)...
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设三角形三个顶点坐标分别为O(0,0),A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0
设角OAB=α,α∈(0,π/2),则:
OA=a=2+1/tanα
OB=b=1+2tanα
AB=1/sinα+2/cosα
周长=OA+AB+BO=3+1/tanα+2tanα+1/sinα+2/cosα
=1+(3tan(α/2)+1)/(tan(α/2)-(tan(α/2))^2)
令tan(α/2)=x,x∈(0,1),则:
周长=1+(3x+1)/(x-x^2)
=1+3/(5/3-(x+1/3+(4/9)/(x+1/3)))
>=1+3/(5/3-4/3)=10
当且仅当x+1/3=(4/9)/(x+1/3)时,即x=1/3时,周长取最小值10。
此时A(10/3,0),B(0,5/2)
如果你有问题不懂的,可以继续来问我,我会尽力为你解答的
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