设点A的坐标(1,0.5),过原点的直线交椭圆 x^2 /4 + y^2 = 1 于点B,C,求三角形ABC的最大面积.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 19:32:38
![设点A的坐标(1,0.5),过原点的直线交椭圆 x^2 /4 + y^2 = 1 于点B,C,求三角形ABC的最大面积.](/uploads/image/z/11496589-61-9.jpg?t=%E8%AE%BE%E7%82%B9A%E7%9A%84%E5%9D%90%E6%A0%87%281%2C0.5%29%2C%E8%BF%87%E5%8E%9F%E7%82%B9%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E4%BA%A4%E6%A4%AD%E5%9C%86+x%5E2+%2F4+%2B+y%5E2+%3D+1+%E4%BA%8E%E7%82%B9B%2CC%2C%E6%B1%82%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E9%9D%A2%E7%A7%AF.)
设点A的坐标(1,0.5),过原点的直线交椭圆 x^2 /4 + y^2 = 1 于点B,C,求三角形ABC的最大面积.
设点A的坐标(1,0.5),过原点的直线交椭圆 x^2 /4 + y^2 = 1 于点B,C,求三角形ABC的最大面积.
设点A的坐标(1,0.5),过原点的直线交椭圆 x^2 /4 + y^2 = 1 于点B,C,求三角形ABC的最大面积.
由已知可设直线方程为y=kx,
∵直线与椭圆相交
∴将y=kx代入x^2 /4 + y^2 = 1 ,可得x^2 /4+(kx)^2=1
整理得,(1+4k)^2*x^2-1=0,由韦达定理得,x1+x2=0,x1x2=-1/(1+4k)^2
∵点A到直线的距离为 |k-0.5|
AD= ----
√(1+k^2)
BC两点间的距离为√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=√(1+k^2)〔(x1+x2)^2-4(x1x2)〕
再求三角形面积即可Smax=1/2*|BC|*|AD|=|k-0.5|*2/(1+4k)=1/2〔1-6k/(1+4k)〕或=1/2〔1-2k+2/(4k+1)〕=1/2
因为B、C是过原点的直线 和 中心在原点的椭圆的焦点
所以我们可以设B(a,b),C(-a,-b)
那么a,b满足a^2/4 + b^2 = 1
三角形ABC的面积S=1/2×AB×CH(高)
可是点到直线的距离怎么表示我忘了,太久远了,抱歉……不过我这个方法挺简单的
设直线Y=KX,与椭圆联立,用弦长公式求得弦长表达式,在联立A点和Y=KX用点到直线距离公式解得表达式。
两式的乘积的一半即三角形面积,转化为求函数的极值就行了。
唉,我今年高考完,没想到在家呆了一个月就都生疏了,也许还有简单办法的。...
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设直线Y=KX,与椭圆联立,用弦长公式求得弦长表达式,在联立A点和Y=KX用点到直线距离公式解得表达式。
两式的乘积的一半即三角形面积,转化为求函数的极值就行了。
唉,我今年高考完,没想到在家呆了一个月就都生疏了,也许还有简单办法的。
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上面回答的方案都很好,不过都忽略了一条直线,当斜率不存在的时候这种情况要分开来考虑,不能统设直线y=kx。
斜率不存在,即x=0,也就是y轴所在的直线。这种情况下的三角形面积是确定的。
当k存在的时候,就根据上面回答的方案解答。最后看看两种情况下哪种情况面积最大。...
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上面回答的方案都很好,不过都忽略了一条直线,当斜率不存在的时候这种情况要分开来考虑,不能统设直线y=kx。
斜率不存在,即x=0,也就是y轴所在的直线。这种情况下的三角形面积是确定的。
当k存在的时候,就根据上面回答的方案解答。最后看看两种情况下哪种情况面积最大。
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