已知:O为三角形ABC所在平面内一点,且满足|向量OA|平方+|向量BC|平方=|向量OB|平方+|向量CA|平方=|向量OC|平方+|向量AB|平方求证:点O是三条高的交点
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 05:09:11
![已知:O为三角形ABC所在平面内一点,且满足|向量OA|平方+|向量BC|平方=|向量OB|平方+|向量CA|平方=|向量OC|平方+|向量AB|平方求证:点O是三条高的交点](/uploads/image/z/11700879-15-9.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%EF%BC%9AO%E4%B8%BA%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E6%89%80%E5%9C%A8%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%86%85%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E4%B8%94%E6%BB%A1%E8%B6%B3%7C%E5%90%91%E9%87%8FOA%7C%E5%B9%B3%E6%96%B9%2B%7C%E5%90%91%E9%87%8FBC%7C%E5%B9%B3%E6%96%B9%3D%7C%E5%90%91%E9%87%8FOB%7C%E5%B9%B3%E6%96%B9%2B%7C%E5%90%91%E9%87%8FCA%7C%E5%B9%B3%E6%96%B9%3D%7C%E5%90%91%E9%87%8FOC%7C%E5%B9%B3%E6%96%B9%2B%7C%E5%90%91%E9%87%8FAB%7C%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E7%82%B9O%E6%98%AF%E4%B8%89%E6%9D%A1%E9%AB%98%E7%9A%84%E4%BA%A4%E7%82%B9)
已知:O为三角形ABC所在平面内一点,且满足|向量OA|平方+|向量BC|平方=|向量OB|平方+|向量CA|平方=|向量OC|平方+|向量AB|平方求证:点O是三条高的交点
已知:O为三角形ABC所在平面内一点,且满足
|向量OA|平方+|向量BC|平方=|向量OB|平方+|向量CA|平方=|向量OC|平方+|向量AB|平方
求证:点O是三条高的交点
已知:O为三角形ABC所在平面内一点,且满足|向量OA|平方+|向量BC|平方=|向量OB|平方+|向量CA|平方=|向量OC|平方+|向量AB|平方求证:点O是三条高的交点
向量(AB+BC)=向是AC,
向量BC=向量(OC-OB),
向量(AB+OC-OB)=向量AC,
向量(AB+OC)=向量(AC+OB),两边平方得,
AB^2+OC^2+2*向量AB*OC=AC^2+OB^2+2*向量AC*OB,.(1)
而,|向量OA|平方+|向量BC|平方=|向量OB|平方+|向量CA|平方=|向量OC|平方+|向量AB|平方
则有,
向量AB*OC=向量AC*OB.
而,向量(AB-AC)=向量BC,向量AC=向量(OC-OA).
向量(AB-OC)=向量(BC-OA),两边平方得,
AB^2+OC^2-2*向量AB*OC=BC^2+OA^2-2向量*BC*OA.(2)
向量AB*OC=向量*BC*OA,
比较(1),(2)式可得,
只有当:向量AB*OC=向量AC*OB=向量AB*OC=向量*BC*OA=0时,才有,
|向量OA|平方+|向量BC|平方=|向量OB|平方+|向量CA|平方=|向量OC|平方+|向量AB|平方,
即有,向量AB*OC向量AC*OB=向量AB*OC=向量*BC*OA=0,
则,向量AB⊥向量OC,向量AC⊥向量OB,向量BC⊥向量OA,
即,点O是三条高的交点.