求教:已知正项数列{an},其前N项和Sn满足10Sn=an^2+5an+6,且a1,a3,a15成等比数列,求{an}通项公式已知正项数列{an},其前N项和Sn满足10Sn=an^2+5an+6,且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项公式.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 21:09:05
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已知 10Sn=an^2+5an+6 式1
当n>1时,10S(n-1)=a(n-1)^2+5a(n-1)+6 式2
式1减式2 得
10Sn-10S(n-1)=an^2+5an+6-a(n-1)^2-5a(n-1)-6
化简得到
[an-a(n-1)][an+a(n-1)]=5[an+a(n-1)] 式3
注:a(n-1)是 an的上一项
当an+a(n-1)=0时,即an=-a(n-1)
数列{an}即为等比数列 其公比为 q=-1;
当an+a(n-1)不为0时,式3 两边可以消去 an+a(n-1) 得到
[an-a(n-1)]=5
数列{an}就为等差数列 其公差是 d=5;
10Sn=an^2+5an+6
当n=1时,可得
10a1=a1^2+5a1+6
得到 a1=2 or a1=3;
再根据a1,a3,a15成等比数列 可得:
a3^2=a1*a15 式4
看式4 是否满足上面的等比数列或者等差数列
等比数列验证:(a1*q^2)=a1*a1*q^14 q^2=q^14=1 满足
an=a1*q^(n-1)
an=2*(-1)^(n-1) or an=3*(-1)^(n-1)
等差数列验证:(a1+2d)^2=a1*(a1+a1+14d) 式5
显然 当a1=2or3 式5 不成立.
最后结论:an=2*(-1)^(n-1) or an=3*(-1)^(n-1)
好久没玩高中数学了,不知道对不对,