在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PA垂直平面ABCD,PA=AB=a.求二面角P-CD-A的大小;求四棱锥的全面积;求点C到平面PBD的距离.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 12:59:30
在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PA垂直平面ABCD,PA=AB=a.求二面角P-CD-A的大小;求四棱锥的全面积;求点C到平面PBD的距离.
在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PA垂直平面ABCD,PA=AB=a.求二面角P-CD-A的大小;求四棱锥的全面积;求点C到平面PBD的距离.
在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PA垂直平面ABCD,PA=AB=a.求二面角P-CD-A的大小;求四棱锥的全面积;求点C到平面PBD的距离.
因为PA垂直平面ABCD,所以PA垂直于CD;
CD与AD垂直,所以CD与面PAD垂直,所以CD垂直于PD;
所以二面角P-CD-A就是角PDA.而PA=AD,三角形PAD为等腰直角三角形,即角PDA为45度;
面积计算:
Sabcd=a^2;Spab=Spad=1/2a^2;Spbc=Spdc=√2/2a^2;
全面积=2a^2+√2a^2;
BD与线AC垂直,与PA垂直,所以BD与面PAC垂直,所以面PBD与面PAC垂直,C到面BPD的垂线在PAC上,C到面的距离转变为C到PO的距离(O为ABCD的中心点).
计算可得:距离为√3/3
(1)∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AD,且在正方形ABCD中,有CD⊥AD,∴CD⊥面PAD。则:∠PAD即为二面角P-CD-A,又在直角三角形PAD中有PA=AB=AD=a,∴所求角为45°。
(2)由(1)可知,△PCD为Rt△。
又,∵PA⊥面ABCD∴PA⊥CB,且CB⊥AB,则有CB⊥面PAB,∴CB⊥PB,即有△PAB也为Rt△
那么,S=Spab+Spbc+S...
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(1)∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥AD,且在正方形ABCD中,有CD⊥AD,∴CD⊥面PAD。则:∠PAD即为二面角P-CD-A,又在直角三角形PAD中有PA=AB=AD=a,∴所求角为45°。
(2)由(1)可知,△PCD为Rt△。
又,∵PA⊥面ABCD∴PA⊥CB,且CB⊥AB,则有CB⊥面PAB,∴CB⊥PB,即有△PAB也为Rt△
那么,S=Spab+Spbc+Spdc+Spad+Spabcd=1\2(aa+√2*aa+√2*aa+aa)+aa=(√2+2)aa。
(3)连接BD,则有BD=PB=PD=√2*a。
Spbd=√3\2aa,Sbcd=1\2aa.
Vpbcd=1\3PA*Sbcd=1\3h*Spbd,∴h即C到面PBD的距离为,√3/3a
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