求问高等代数题.等价合同相似正交相似关系,设M是所有n阶实对称矩阵的集合,问分别按(1)等价关系;(2)合同关系;(3)相似关系;(4)正交相似关系,来分类有多少个等价类,并写出第
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 02:34:24
![求问高等代数题.等价合同相似正交相似关系,设M是所有n阶实对称矩阵的集合,问分别按(1)等价关系;(2)合同关系;(3)相似关系;(4)正交相似关系,来分类有多少个等价类,并写出第](/uploads/image/z/13369547-11-7.jpg?t=%E6%B1%82%E9%97%AE%E9%AB%98%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0%E9%A2%98.%E7%AD%89%E4%BB%B7%E5%90%88%E5%90%8C%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E5%85%B3%E7%B3%BB%2C%E8%AE%BEM%E6%98%AF%E6%89%80%E6%9C%89n%E9%98%B6%E5%AE%9E%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%2C%E9%97%AE%E5%88%86%E5%88%AB%E6%8C%89%EF%BC%881%EF%BC%89%E7%AD%89%E4%BB%B7%E5%85%B3%E7%B3%BB%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%90%88%E5%90%8C%E5%85%B3%E7%B3%BB%EF%BC%9B%EF%BC%883%EF%BC%89%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E5%85%B3%E7%B3%BB%EF%BC%9B%EF%BC%884%EF%BC%89%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E5%85%B3%E7%B3%BB%2C%E6%9D%A5%E5%88%86%E7%B1%BB%E6%9C%89%E5%A4%9A%E5%B0%91%E4%B8%AA%E7%AD%89%E4%BB%B7%E7%B1%BB%2C%E5%B9%B6%E5%86%99%E5%87%BA%E7%AC%AC)
求问高等代数题.等价合同相似正交相似关系,设M是所有n阶实对称矩阵的集合,问分别按(1)等价关系;(2)合同关系;(3)相似关系;(4)正交相似关系,来分类有多少个等价类,并写出第
求问高等代数题.等价合同相似正交相似关系,
设M是所有n阶实对称矩阵的集合,问分别按(1)等价关系;(2)合同关系;(3)相似关系;(4)正交相似关系,来分类有多少个等价类,并写出第一个等价类的标准形矩阵.
求问高等代数题.等价合同相似正交相似关系,设M是所有n阶实对称矩阵的集合,问分别按(1)等价关系;(2)合同关系;(3)相似关系;(4)正交相似关系,来分类有多少个等价类,并写出第
(1) 任意矩阵总可以由初等变换化为[Er,0;0,0],其中r是矩阵的秩.
由于初等变换保持矩阵的秩,所以对不同的r,[Er,0;0,0]属于不同的等价类.
于是[Er,0;0,0],r = 0,1,2,...,n,给出了矩阵的相抵标准型.
又[Er,0;0,0]也是实对称阵,所以实对称阵包含所有的n+1个相抵等价类.
相抵标准型就是[Er,0;0,0],r = 0,1,...,n.
(2) 实对称阵合同等价于[Ep,0,0;0,-Eq,0;0,0,0],其中p,q分别为正负惯性指数.
合同变换保持惯性指数,[Ep,0,0;0,-Eq,0;0,0,0]给出了实对称阵的合同标准型.
满足p+q ≤ n的有序非负整数对(p,q)共(n+1)+n+...+1+0 = (n+2)(n+1)/2组.
即共有(n+2)(n+1)/2个合同等价类.
(3)(4)可以一起说,因为实对称阵一定(正交)相似于实对角阵,
而两个对角阵(正交)相似当且仅当特征值完全相同(不计次序).
因此实对称阵的(正交)相似标准型为对角元λ1 ≤ λ2 ≤...≤ λn的实对角阵.
等价类有无穷多个.