【椭圆】平面解析几何,详解之
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 19:19:50
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【椭圆】平面解析几何,详解之
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【椭圆】平面解析几何,详解之
已知椭圆M:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),P为椭圆上任一点,向量PF1*向量PF2最大值取值范围为[c^2,3c^2],求椭圆离心率的取值范围.
解析:设椭圆M的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),P为椭圆上任一点P(x,y)
∵椭圆M:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)
∴x^2=a^2(b^2-y^2)/b^2
向量PF1=(-c-x,-y)
向量PF2=(c-x,-y)
向量PF1*向量PF2=x^2-c^2+y^2= a^2(b^2-y^2)/b^2-c^2+y^2=a^2-c^2-c^2y^2/b^2
∵向量PF1*向量PF2最大值取值范围为[c^2,3c^2]
显然,当y=0时,向量PF1*向量PF2取到最大值a^2-c^2
令c^2<=a^2-c^2<=3c^2==>2c^2<=a^2<=4c^2==>1/4<=e^2<1/2
∴1/2<=e<=√2/2