已知函数f(x)=(lnx+k)/e^x(k为常数,e=2.71828...是自然对数的底数)曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行(1)求k(2)f(x)单调区间(3)g(x)=(x^2+x)f'(x),对任意x>0,g(x)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 20:45:41
![已知函数f(x)=(lnx+k)/e^x(k为常数,e=2.71828...是自然对数的底数)曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行(1)求k(2)f(x)单调区间(3)g(x)=(x^2+x)f'(x),对任意x>0,g(x)](/uploads/image/z/1613224-64-4.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3D%28lnx%2Bk%29%2Fe%5Ex%28k%E4%B8%BA%E5%B8%B8%E6%95%B0%2Ce%3D2.71828...%E6%98%AF%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%AF%B9%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%BA%95%E6%95%B0%29%E6%9B%B2%E7%BA%BFy%3Df%28x%29%E5%9C%A8%EF%BC%881%2Cf%281%29%29%E5%A4%84%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E4%B8%8Ex%E8%BD%B4%E5%B9%B3%E8%A1%8C%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82k%EF%BC%882%29f%28x%29%E5%8D%95%E8%B0%83%E5%8C%BA%E9%97%B4%EF%BC%883%EF%BC%89g%28x%29%3D%28x%5E2%2Bx%29f%27%28x%29%2C%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8Fx%3E0%2Cg%28x%29)
已知函数f(x)=(lnx+k)/e^x(k为常数,e=2.71828...是自然对数的底数)曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行(1)求k(2)f(x)单调区间(3)g(x)=(x^2+x)f'(x),对任意x>0,g(x)
已知函数f(x)=(lnx+k)/e^x(k为常数,e=2.71828...是自然对数的底数)曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平
行(1)求k(2)f(x)单调区间(3)g(x)=(x^2+x)f'(x),对任意x>0,g(x)
已知函数f(x)=(lnx+k)/e^x(k为常数,e=2.71828...是自然对数的底数)曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行(1)求k(2)f(x)单调区间(3)g(x)=(x^2+x)f'(x),对任意x>0,g(x)
k=1
00,得0
最重要的
I)函数f(x)=lnx+k ex (k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数), ∴f′(x)=1 x -lnx-k ex =1-xlnx-kx xex ,x∈(0,+∞), 由已知,f′(1)=1-k e =0,∴k=1. (II)由(I)知,f′(x)=1 x -lnx-1 ex =1-xlnx-x xex ,x∈(0,+∞), 设h(x)=1-xlnx-x,x∈(0,+∞),可得h(...
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I)函数f(x)=lnx+k ex (k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数), ∴f′(x)=1 x -lnx-k ex =1-xlnx-kx xex ,x∈(0,+∞), 由已知,f′(1)=1-k e =0,∴k=1. (II)由(I)知,f′(x)=1 x -lnx-1 ex =1-xlnx-x xex ,x∈(0,+∞), 设h(x)=1-xlnx-x,x∈(0,+∞),可得h(x)在(0,+∞)上是减函数, 又h(1)=0, ∴当0<x<1时,h(x)>0,从而f'(x)>0, 当x>1时h(x)<0,从而f'(x)<0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递加区间是(1,+∞). (III)由(II)可知,当x≥1时,g(x)=xf'(x)≤0<1+e-2,故只需证明g(x)<1+e-2在0<x<1时成立. 当0<x<1时,ex>1,且g(x)>0,∴g(x)=1-xlnx-x ex <1-xlnx-x. 设F(x)=1-xlnx-x,x∈(0,1),则F'(x)=-(lnx+2), 当x∈(0,e-2)时,F'(x)>0,当x∈( e-2,1)时,F'(x)<0, 所以当x=e-2时,F(x)获得最大值F(e-2)=1+e-2. 所以g(x)<F(x)≤1+e-2. 综上,对恣意x>0,g(x)<1+e-2.
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