如图 △ABC中,∠ACB=90°,AC=BD,D为△ABC外的一点,且AD=BD,DE垂直于AC交CA的延长线于E,求证:DE=AE+BC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 23:13:31
![如图 △ABC中,∠ACB=90°,AC=BD,D为△ABC外的一点,且AD=BD,DE垂直于AC交CA的延长线于E,求证:DE=AE+BC](/uploads/image/z/1689079-31-9.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE+%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2C%E2%88%A0ACB%3D90%C2%B0%2CAC%3DBD%2CD%E4%B8%BA%E2%96%B3ABC%E5%A4%96%E7%9A%84%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E4%B8%94AD%3DBD%2CDE%E5%9E%82%E7%9B%B4%E4%BA%8EAC%E4%BA%A4CA%E7%9A%84%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%BA%8EE%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ADE%3DAE%2BBC)
如图 △ABC中,∠ACB=90°,AC=BD,D为△ABC外的一点,且AD=BD,DE垂直于AC交CA的延长线于E,求证:DE=AE+BC
如图 △ABC中,∠ACB=90°,AC=BD,D为△ABC外的一点,且AD=BD,DE垂直于AC交CA的延长线于E,求证:DE=AE+BC
如图 △ABC中,∠ACB=90°,AC=BD,D为△ABC外的一点,且AD=BD,DE垂直于AC交CA的延长线于E,求证:DE=AE+BC
证明:
过点D作DF⊥CB交CB的延长线于点F
所以∠CFD=Rt∠=90度
因为DE⊥AC交CA的延长线于E
所以∠E=Rt∠=90度
因为∠C=90度
所以∠C=∠E=∠F=Rt∠=90度
所以四边形ABCD是矩形
所以DF=CE
因为BC=AC
所以∠CBA=∠CAB=45度
因为BD=AD
所以∠DBA=∠DAB
所以180度-∠CBA-∠ABD=180度-∠CAB-∠BAD
即∠FBD=∠DAE
因为∠F=∠E
所以三角形FBD全等三角形ADE
所以FD=DE
所以DE=CE
因为CE=CA+AE
又因为AC=BC
所以CE=AE+BC
所以DE=AE+BC
参考:
过点D作DF⊥CB交CB的延长线于点F,所以∠CFD=90度
因为DE⊥AC交CA的延长线于E,所以∠E=90度
因为∠C=90度,所以∠C=∠E=∠F=90度,所以四边形ABCD是矩形,所以DF=CE
因为BC=AC,所以∠CBA=∠CAB=45度
因为BD=AD,所以∠DBA=∠DAB
所以180度-∠CBA-∠ABD=180度-∠CAB-∠BAD,即∠FBD=∠DAE
因为∠F=∠E,所以△FBD≌△EAD,所以FD=DE,所以DE=CE
因为CE=CA+AE,AC=BC
所以CE=AE+BC,所以DE=AE+BC
证明:
连接CD
∵CB=CA,DB=DA,CD=CD
∴△BCD≌△ACD
∴∠ACD=∠BCD=45°
∵DE⊥CE
∴DE=CE
∴DE=AC+AE=CB+AE