已知M,N,P,Q分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证MNPQ是平行四边形
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 00:26:52
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已知M,N,P,Q分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证MNPQ是平行四边形
已知M,N,P,Q分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证MNPQ是平行四边形
已知M,N,P,Q分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证MNPQ是平行四边形
证明:(1) ∵M、N是AB、BC的中点,∴MN‖AC,MN= AC.
∵P、Q是CD、DA的中点,∴PQ‖CA,PQ= CA.
∴MN‖QP,MN=QP,MNPQ是平行四边形.
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分.
(2)由(1),AC‖MN.记平面MNP(即平面MNPQ)为α.显然ACα.
否则,若ACα,
由A∈α,M∈α,得B∈α;
由A∈α,Q∈α,得D∈α,则A、B、C、D∈α,
与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾.
又∵MNα,∴AC‖α,
又AC α,∴AC‖α,即AC‖平面MNP.
同理可证BD‖平面MNP.
证明连接DB,QM‖PN‖DB,(中位线定理)同理,QP‖AC‖MN,所以MNPQ是平行四边形。
证明:(1)∵M、N是AB、BC的中点,∴MN∥AC,MN=1/2AC.
∵P、Q是CD、DA的中点,∴PQ∥CA,PQ=1/2CA.
∴MN∥QP,MN=QP,MNPQ是平行四边形.
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分.
(2)由(1),AC∥MN.记平面MNP(即平面MNPQ)为α.显然AC⊄α.
否则,若AC⊂α,
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证明:(1)∵M、N是AB、BC的中点,∴MN∥AC,MN=1/2AC.
∵P、Q是CD、DA的中点,∴PQ∥CA,PQ=1/2CA.
∴MN∥QP,MN=QP,MNPQ是平行四边形.
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分.
(2)由(1),AC∥MN.记平面MNP(即平面MNPQ)为α.显然AC⊄α.
否则,若AC⊂α,
由A∈α,M∈α,得B∈α;
由A∈α,Q∈α,得D∈α,则A、B、C、D∈α,
与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾.
又∵MNÌα,∴AC∥α,
又ACËα,∴AC∥α,即AC∥平面MNP.
又∵BD∥NP,BD⊄平面MNP,NP⊂平面MNP
∴BD∥平面MNP.
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