二次型f(x1,x2,x3)=2(x1^2+x2^2+x3^2+x1x2+x1x3+x2x3)设f(x1,x2,x3)=2(x1^2+x2^2+x3^2+x1x2+x1x3+x2x3)写出二次型f(x1,x2,x3)所对应的对称矩阵A求正交变换x=Ty 将二次型f(x1,x2,x3)化成标准型 并判断他的正定性.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 20:26:26
![二次型f(x1,x2,x3)=2(x1^2+x2^2+x3^2+x1x2+x1x3+x2x3)设f(x1,x2,x3)=2(x1^2+x2^2+x3^2+x1x2+x1x3+x2x3)写出二次型f(x1,x2,x3)所对应的对称矩阵A求正交变换x=Ty 将二次型f(x1,x2,x3)化成标准型 并判断他的正定性.](/uploads/image/z/2082720-48-0.jpg?t=%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%9E%8Bf%28x1%2Cx2%2Cx3%29%3D2%28x1%5E2%2Bx2%5E2%2Bx3%5E2%2Bx1x2%2Bx1x3%2Bx2x3%29%E8%AE%BEf%28x1%2Cx2%2Cx3%29%3D2%28x1%5E2%2Bx2%5E2%2Bx3%5E2%2Bx1x2%2Bx1x3%2Bx2x3%29%E5%86%99%E5%87%BA%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%9E%8Bf%28x1%2Cx2%2Cx3%29%E6%89%80%E5%AF%B9%E5%BA%94%E7%9A%84%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%9F%A9%E9%98%B5A%E6%B1%82%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E5%8F%98%E6%8D%A2x%3DTy+%E5%B0%86%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%9E%8Bf%28x1%2Cx2%2Cx3%29%E5%8C%96%E6%88%90%E6%A0%87%E5%87%86%E5%9E%8B+%E5%B9%B6%E5%88%A4%E6%96%AD%E4%BB%96%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E6%80%A7.)
二次型f(x1,x2,x3)=2(x1^2+x2^2+x3^2+x1x2+x1x3+x2x3)设f(x1,x2,x3)=2(x1^2+x2^2+x3^2+x1x2+x1x3+x2x3)写出二次型f(x1,x2,x3)所对应的对称矩阵A求正交变换x=Ty 将二次型f(x1,x2,x3)化成标准型 并判断他的正定性.
二次型f(x1,x2,x3)=2(x1^2+x2^2+x3^2+x1x2+x1x3+x2x3)
设f(x1,x2,x3)=2(x1^2+x2^2+x3^2+x1x2+x1x3+x2x3)
写出二次型f(x1,x2,x3)所对应的对称矩阵A
求正交变换x=Ty 将二次型f(x1,x2,x3)化成标准型 并判断他的正定性.
二次型f(x1,x2,x3)=2(x1^2+x2^2+x3^2+x1x2+x1x3+x2x3)设f(x1,x2,x3)=2(x1^2+x2^2+x3^2+x1x2+x1x3+x2x3)写出二次型f(x1,x2,x3)所对应的对称矩阵A求正交变换x=Ty 将二次型f(x1,x2,x3)化成标准型 并判断他的正定性.
2 1 1
1 2 1
1 1 2
|A-λE| =
2-λ 1 1
1 2-λ 1
1 1 2-λ
c1+c2+c3
4-λ 1 1
4-λ 2-λ 1
4-λ 1 2-λ
r2-r1,r3-r1
4-λ 1 1
0 1-λ 0
0 0 1-λ
= (4-λ)(1-λ)^2.
所以A的特征值为 4,1,1
A-4E=
-2 1 1
1 -2 1
1 1 -2
-->
r3+r1+r2,r1+2r2
0 -3 3
1 -2 1
0 0 0
-->
0 1 -1
1 -2 1
0 0 0
-->
0 1 -1
1 0 -1
0 0 0
得(A-4E)x=0的基础解系为 α1=(1,1,1)^T.
同样,A-E =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
-->
1 1 1
0 0 0
0 0 0
得(A-E)x=0的基础解系为 α2=(1,-1,0)^T,α3=(1,1,-2)^T.
α1,α2,α3已两两正交,单位化后构成矩阵T=
1/√3 1/√2 1/√6
1/√3 -1/√2 1/√6
1/√3 0 -2/√6
则X=TY是正交变换,且二次型化为 f=4y1^2+y2^2+y3^2
因为二次型的正惯性指数为3(等于n),所以是正定的.