椭圆的证明题如图,椭圆的两切线为PA,PB.过P作椭圆的一条割线交椭圆于C,D,且与AB交于点Q求证:PQ是PC,PD的调和平均.注:图中字母有点问题,我把PCD与AB的交点也标成P了
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 12:31:34
![椭圆的证明题如图,椭圆的两切线为PA,PB.过P作椭圆的一条割线交椭圆于C,D,且与AB交于点Q求证:PQ是PC,PD的调和平均.注:图中字母有点问题,我把PCD与AB的交点也标成P了](/uploads/image/z/2313401-41-1.jpg?t=%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%A2%98%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E4%B8%A4%E5%88%87%E7%BA%BF%E4%B8%BAPA%2CPB.%E8%BF%87P%E4%BD%9C%E6%A4%AD%E5%9C%86%E7%9A%84%E4%B8%80%E6%9D%A1%E5%89%B2%E7%BA%BF%E4%BA%A4%E6%A4%AD%E5%9C%86%E4%BA%8EC%2CD%2C%E4%B8%94%E4%B8%8EAB%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9Q%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9APQ%E6%98%AFPC%2CPD%E7%9A%84%E8%B0%83%E5%92%8C%E5%B9%B3%E5%9D%87.%E6%B3%A8%EF%BC%9A%E5%9B%BE%E4%B8%AD%E5%AD%97%E6%AF%8D%E6%9C%89%E7%82%B9%E9%97%AE%E9%A2%98%2C%E6%88%91%E6%8A%8APCD%E4%B8%8EAB%E7%9A%84%E4%BA%A4%E7%82%B9%E4%B9%9F%E6%A0%87%E6%88%90P%E4%BA%86)
椭圆的证明题如图,椭圆的两切线为PA,PB.过P作椭圆的一条割线交椭圆于C,D,且与AB交于点Q求证:PQ是PC,PD的调和平均.注:图中字母有点问题,我把PCD与AB的交点也标成P了
椭圆的证明题
如图,椭圆的两切线为PA,PB.过P作椭圆的一条割线交椭圆于C,D,且与AB交于点Q
求证:PQ是PC,PD的调和平均.
注:图中字母有点问题,我把PCD与AB的交点也标成P了
椭圆的证明题如图,椭圆的两切线为PA,PB.过P作椭圆的一条割线交椭圆于C,D,且与AB交于点Q求证:PQ是PC,PD的调和平均.注:图中字母有点问题,我把PCD与AB的交点也标成P了
分析:由于椭圆是圆柱面与平面的交线,因此此题可放到空间中解决.
作椭圆的正投影,投影成圆,在圆中解决这个问题.
而在圆中,可用“调和平均×算术平均=几何平均的平方”来证明
证明:作椭圆的正投影,对应点加'(我的图忘加了),设直线PQ与圆所在平面的夹角为α.
∵C,D,Q∈直线PQ,∴P’Q‘=PQcosα,P’C‘=PCcosα,P’D‘=PDcosα
圆O’中,过O‘作O’E‘⊥P’D‘,则E’为C‘D’中点,∴P‘E’=½(P‘C’+P‘D’)
连接P‘O’,交A‘B’于F‘,则P’O‘⊥A’B‘
由切割线定理,P‘A’²=P'C'×P’D‘——①
∵P’A‘是○O’的切线,∴O‘A’⊥P‘A’
Rt△P‘O’A‘中,由射影定理P’F‘×P’O‘=P’A‘²——②
Rt△P’F’Q’和Rt△P‘O’E‘中,用三角函数易得P’Q‘×P’E‘=P’F‘×P’O‘——③
联立以上三式,可得P’Q‘×P’E‘=P’C‘×P'D'
∵P’E‘是P’C‘,P’D‘的算术平均,P'C'×P'D'是P’C‘,P’D‘几何平均的平方
∴P‘Q’是P‘C’,P‘D’的调和平均.
即PQcosα是PCcosα和PDcosα的调和平均
约去cosα,得PQ是PC,PD的调和平均
注:调和平均×算术平均=几何平均²的证明
调和平均=2ab/(a+b),算术平均=½(a+b)
∴调和平均×算术平均=几何平均²
椭圆的几何证明中,往往可以放到空间中,作它的正投影,化为圆的几何证明.我感觉圆锥曲线
的几何证明都可以采用这种方法,不过需要的是中心投影.推荐一本书《圆锥曲线论》.