设a,b,c均为实数,求证方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中至少有一个实数根
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 18:27:18
![设a,b,c均为实数,求证方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中至少有一个实数根](/uploads/image/z/2531747-11-7.jpg?t=%E8%AE%BEa%2Cb%2Cc%E5%9D%87%E4%B8%BA%E5%AE%9E%E6%95%B0%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%E6%96%B9%E7%A8%8Bax%5E2%2B2bx%2Bc%3D0%2Cbx%5E2%2B2cx%2Ba%3D0%2Ccx%5E2%2B2ax%2Bb%3D0%E4%B8%AD%E8%87%B3%E5%B0%91%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%AE%9E%E6%95%B0%E6%A0%B9)
设a,b,c均为实数,求证方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中至少有一个实数根
设a,b,c均为实数,求证方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中至少有一个实数根
设a,b,c均为实数,求证方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中至少有一个实数根
楼上的
答非所问啊,人家说有“实数根”,不是说“两个相等的实数根”
当a=0时,很明显斗有实数根,当a非零时我使用反证法:
假设:
方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中没有一个有实数根
即:
(2b)²-4ac<0……①
(2c)²-4ab<0……②
(2a)²-4cb<0……③
同时成立
反正法证明:
由①+②+③得
(2b)²-4ac+(2c)²-4ab+(2a)²-4cb<0……⑤
配方得:
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²<0……⑥
很明显⑥不可能成立,那么“方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中没有一个有实数根”不成立,那么它的反面成立.即
a,b,c均为实数,时方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中至少有一个实数根.
设a,b,c为互不相等的非零实数,求证:三个方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0不可能有两个相等的实数根
反证法 假设三个方程都有相等的实数根,
则4b^2-4ac=0, 4c^2-4ab=0, 4a^2-4bc=0
即b^2=ca, c^2=ab, a^2=bc
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab...
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设a,b,c为互不相等的非零实数,求证:三个方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0不可能有两个相等的实数根
反证法 假设三个方程都有相等的实数根,
则4b^2-4ac=0, 4c^2-4ab=0, 4a^2-4bc=0
即b^2=ca, c^2=ab, a^2=bc
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)
=0
当且仅当a=b=c时成立于a,b,c 互不相等矛盾
所以假设不成立,原命题成立
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