如图,在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点,若E为边OA上的一个动点,当三角形CDE的周长最小时,试求三角形CDE周长的最小值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 17:35:26
![如图,在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点,若E为边OA上的一个动点,当三角形CDE的周长最小时,试求三角形CDE周长的最小值.](/uploads/image/z/2570704-16-4.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E7%9B%B4%E8%A7%92%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB%E4%B8%AD%2C%E7%9F%A9%E5%BD%A2OACB%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9O%E5%9C%A8%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%8E%9F%E7%82%B9%2C%E9%A1%B6%E7%82%B9A%E3%80%81B%E5%88%86%E5%88%AB%E5%9C%A8x%E8%BD%B4%E3%80%81y%E8%BD%B4%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%8D%8A%E8%BD%B4%E4%B8%8A%2COA%3D3%2COB%3D4%2CD%E4%B8%BA%E8%BE%B9OB%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2C%E8%8B%A5E%E4%B8%BA%E8%BE%B9OA%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%E5%BD%93%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2CDE%E7%9A%84%E5%91%A8%E9%95%BF%E6%9C%80%E5%B0%8F%E6%97%B6%2C%E8%AF%95%E6%B1%82%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2CDE%E5%91%A8%E9%95%BF%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC.)
如图,在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点,若E为边OA上的一个动点,当三角形CDE的周长最小时,试求三角形CDE周长的最小值.
如图,在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,
D为边OB的中点,若E为边OA上的一个动点,当三角形CDE的周长最小时,试求三角形CDE周长的最小值.
如图,在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点,若E为边OA上的一个动点,当三角形CDE的周长最小时,试求三角形CDE周长的最小值.
设点E的坐标为(x,0)则点F的坐标为(x+2,0),C为(0,根号7),D为(3/2,2分之根号7)边CD=根号下(3/2的平方+(2分之根号7)的平方)=2(其实D为矩形的中心)
边CE=根号下(x的平方+(根号7)的平方)
边DF=根号下((x+2-3/2)的平方+(2分之根号7)的平方)
边EF=2
以此建立四边形CDEF周长的方程
S=CD+CE+DF+EF
=4+根号下((x的平方)+7)+根号下((x+1/2)的平方+7/4)
求方程的最小值得x的值为0
也就是说只有在点E和原点重合的时候周长才是最小,最小周长为8.06
取D在y轴负半轴上的对称点为d,连接dC,交x轴于点E,三角形CDE的周长最小值就是线段Cd+线段CD ,答案是3根号5+根号13
:(1)如图,作点D关于x轴的对称点D',连接CD'与x轴交于点E,连接DE.(1分)
若在边OA上任取点E'(与点E不重合),连接CE'、DE'、D'E'.
由DE'+CE'=D'E'+CE'>CD'=D'E+CE=DE+CE,(3分)
可知△CDE的周长最小.
∵在矩形OACB中,OA=3,OB=4,D为OB的中点,
∴BC=3,D'O=DO=2,D'B...
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:(1)如图,作点D关于x轴的对称点D',连接CD'与x轴交于点E,连接DE.(1分)
若在边OA上任取点E'(与点E不重合),连接CE'、DE'、D'E'.
由DE'+CE'=D'E'+CE'>CD'=D'E+CE=DE+CE,(3分)
可知△CDE的周长最小.
∵在矩形OACB中,OA=3,OB=4,D为OB的中点,
∴BC=3,D'O=DO=2,D'B=6.
∵OE∥BC,
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BC,(4分)
有OEBC=D′OD′B.
∴OE=D′O•BCD′B=2×36=1(5分)
∴点E的坐标为(1,0)(6分)
(2)如图,
作点D关于x轴的对称点D',在CB边上截取CG=2,连接D'G与x轴交于点E,在EA上截取EF=2(7分)
∵GC∥EF,GC=EF,
∴四边形GEFC为平行四边形,有GE=CF.
又DC、EF的长为定值,
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小(8分)
∵OE∥BC,
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BG,有OEBG=D′OD′B.
∴OE=D′O•BGD′B=D′O•(BC-CG)D′B=2×16=13(9分)
∴OF=OE+EF=13+2=73.
∴点E的坐标为(13,0),点F的坐标为(73,0)(10分)
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