比较难的数学题高中水平已知函数f(x)=x平方/(2x+1) (x>0).(1)当x1>0,x2>0且f(x1)f(x2)=1时,求证:x1x2≥3+2根号2 (2)若数列{an}满足a1=1,an>0,an+1=f(an) (n∈N*),求数列{an}的通项公式 这里的x1、x2、{an}、a1、an、a
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 02:14:30
![比较难的数学题高中水平已知函数f(x)=x平方/(2x+1) (x>0).(1)当x1>0,x2>0且f(x1)f(x2)=1时,求证:x1x2≥3+2根号2 (2)若数列{an}满足a1=1,an>0,an+1=f(an) (n∈N*),求数列{an}的通项公式 这里的x1、x2、{an}、a1、an、a](/uploads/image/z/2653285-13-5.jpg?t=%E6%AF%94%E8%BE%83%E9%9A%BE%E7%9A%84%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%A2%98%E9%AB%98%E4%B8%AD%E6%B0%B4%E5%B9%B3%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dx%E5%B9%B3%E6%96%B9%2F%282x%2B1%29+%28x%3E0%29.%281%29%E5%BD%93x1%3E0%2Cx2%3E0%E4%B8%94f%28x1%29f%28x2%29%3D1%E6%97%B6%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9Ax1x2%E2%89%A53%2B2%E6%A0%B9%E5%8F%B72+%282%29%E8%8B%A5%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E6%BB%A1%E8%B6%B3a1%3D1%2Can%3E0%2Can%2B1%3Df%28an%29+%28n%E2%88%88N%2A%29%2C%E6%B1%82%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E7%9A%84%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F+%E8%BF%99%E9%87%8C%E7%9A%84x1%E3%80%81x2%E3%80%81%7Ban%7D%E3%80%81a1%E3%80%81an%E3%80%81a)
比较难的数学题高中水平已知函数f(x)=x平方/(2x+1) (x>0).(1)当x1>0,x2>0且f(x1)f(x2)=1时,求证:x1x2≥3+2根号2 (2)若数列{an}满足a1=1,an>0,an+1=f(an) (n∈N*),求数列{an}的通项公式 这里的x1、x2、{an}、a1、an、a
比较难的数学题高中水平
已知函数f(x)=x平方/(2x+1) (x>0).
(1)当x1>0,x2>0且f(x1)f(x2)=1时,求证:x1x2≥3+2根号2
(2)若数列{an}满足a1=1,an>0,an+1=f(an) (n∈N*),求数列{an}的通项公式
这里的x1、x2、{an}、a1、an、an+1、头一个字母后面的都是下标,an+1也是(n+1为下标)
比较难的数学题高中水平已知函数f(x)=x平方/(2x+1) (x>0).(1)当x1>0,x2>0且f(x1)f(x2)=1时,求证:x1x2≥3+2根号2 (2)若数列{an}满足a1=1,an>0,an+1=f(an) (n∈N*),求数列{an}的通项公式 这里的x1、x2、{an}、a1、an、a
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(1)因为x1>0,x2>0且f(x1)f(x2)=1
所以x1x2>0
所以x1^2/(2x1+1) * x2^2/(2x+1)=1
x1^2 x2^2=(2x1+1)(2x2+1)
=4x1x2+2x1+2x2+1>=4x1x2+2(2根号(x1x2))+1
=(2根号(x1x2)+1)^2
所以x1x2>=2根号(x1x2)+1
根号(x1x2)>=1+根号2
所以x1x2>=(1+根号2)^2=3+2根号召
(2)方法用数学归纳法:
由题知a1=1,an+1=an^2/(2an+1)
则a2=1^2/(2*1+1)=1/3=1/(1*3)=1/(4-1)=1/(2^2-1)
a3=(1/3)^2/(2*(1/3)+1)=1/15=1/(3*5)=1/(16-1)=1/(2^4-1)
a4=(1/15)^2/(2*(1/15)+1)=1/(15*17)=1/(2^8-1)
猜想an=1/(2^2^(n-1)-1)
用数学归纳法证明:
当n=1时a1=1/(2^1-1)=1显然成立,
假设当n=k时成立,那么ak=1/(2^2^(k-1)-1)
则ak+1=ak^2/(2ak+1)
=[1/(2^2^(k-1)-1)]^2/(2*(2^2^(k-1)-1)+1)
=1/[(2^2^(k-1)-1)*(2+(2^2^(k-1)-1)]
=1/[(2^2^(k-1)-1)*(2^2^(k-1)+1)]
=1/[(2^2^(k-1))^2-1]
=1/[2^(2^(k-1)*2)-1]
=1/[2^2^(k+1-1)-1]
所以当n=k+1时猜想也成立.