二重积分的正负和积分闭区域的正负有关吗?比如同样的被积函数,假设被积函数都是正的,但是闭区域分别是第一象限和第四象限,那二重积分是不是变成负的了?还有就是定积分会不会也和闭
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 20:21:30
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二重积分的正负和积分闭区域的正负有关吗?比如同样的被积函数,假设被积函数都是正的,但是闭区域分别是第一象限和第四象限,那二重积分是不是变成负的了?还有就是定积分会不会也和闭
二重积分的正负和积分闭区域的正负有关吗?比如同样的被积函数,假设被积函数都是正的,但是闭区域分别是
第一象限和第四象限,那二重积分是不是变成负的了?还有就是定积分会不会也和闭区间正负有关?比如都是同样的正的被积函数,那闭区间在正半轴和负半轴会不会影响定积分值的正负?
二重积分的正负和积分闭区域的正负有关吗?比如同样的被积函数,假设被积函数都是正的,但是闭区域分别是第一象限和第四象限,那二重积分是不是变成负的了?还有就是定积分会不会也和闭
没有影响的,你用定积分做对比就很恰当,例如∫x^2dx,这里被积函数是恒正的,不论积分区间是[-1,0]还是[0,1],积分的结果都是1/3>0,也就是说积分结果的正负只有被积函数的正负来决定,和积分区域无关(第二类曲线曲面积分除外).回到二重积分,可以用二重积分的几何意义做一解释,二重积分∫∫f(x,y)dxdy的几何意义是以积分区域D为底,以曲面z=f(x,y)为顶面的曲顶柱体的体积,因此可以想象,如果顶面和底面都是一致的(即D和f(x,y)都相同)的两个二重积分,不论底面D位于坐标平面的什么位置,其积分的结果(体积)都是相同的.你说的那种情况对第二类曲线曲面积分适用,因为那里积分区域是规定了正方向的,而其它积分没有这个规定.
因为f(x,y)>0
故f(x,y)>c>0
故∫∫f(x,y)dxdy>∫∫cdxdy=c*S>0. (S是积分区域的面积)
积分区域水平平移不影响其面积.
故无关.
定积分也是一样,无关.