已知某3个连续正整数的立方和是完全平方数,求证:这3个正整数的算术平均数是4的倍数.是道同余问题错了,是完全立方数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 23:01:37
![已知某3个连续正整数的立方和是完全平方数,求证:这3个正整数的算术平均数是4的倍数.是道同余问题错了,是完全立方数](/uploads/image/z/3025131-51-1.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%9F%903%E4%B8%AA%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%E7%9A%84%E7%AB%8B%E6%96%B9%E5%92%8C%E6%98%AF%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%3A%E8%BF%993%E4%B8%AA%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%E7%9A%84%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%95%B0%E6%98%AF4%E7%9A%84%E5%80%8D%E6%95%B0.%E6%98%AF%E9%81%93%E5%90%8C%E4%BD%99%E9%97%AE%E9%A2%98%E9%94%99%E4%BA%86%EF%BC%8C%E6%98%AF%E5%AE%8C%E5%85%A8%E7%AB%8B%E6%96%B9%E6%95%B0)
已知某3个连续正整数的立方和是完全平方数,求证:这3个正整数的算术平均数是4的倍数.是道同余问题错了,是完全立方数
已知某3个连续正整数的立方和是完全平方数,求证:这3个正整数的算术平均数是4的倍数.
是道同余问题
错了,是完全立方数
已知某3个连续正整数的立方和是完全平方数,求证:这3个正整数的算术平均数是4的倍数.是道同余问题错了,是完全立方数
首先观察:若n = 3m,则n³ = 27m³ ≡ 0 (mod 9).
若n = 3m+1,则n³ = 27m³+27m²+9m+1 ≡ 1 (mod 9).
若n = 3m-1,则n³ = 27m³-27m²+9m-1 ≡ -1 (mod 9).
因此一个完全立方数mod 9只能同余于0或±1.
3个连续整数的立方和可设为(x-1)³+x³+(x+1)³ = 3x³+6x = 3x(x²+2).
考虑x和x²+2的最大公约数(x,x²+2).
可知(x,x²+2) = (x,x²+2-x·x) = (x,2) = 1或2.
若(x,x²+2) = 1,即x与x²+2互质.
由3x(x²+2)是完全立方数,又被3整除,可知其被27整除.
于是x(x²+2)被9整除,且x(x²+2)/9是完全立方数.
两个互质的数的乘积为完全立方数的9倍,只有两种可能的形式:
x = 9s³,x²+2 = t³或x = t³,x²+2 = 9s³ (其中t不被3整除,否则二者不互质).
但当x = 9s³,有x²+2 = 81s^6+2 ≡ 2 (mod 9),不为完全立方数.
而当x = t³,有x ≡ ±1 (mod 9),于是x²+2 ≡ (±1)²+2 = 3 (mod 9),同样不为完全立方数,矛盾.
于是只有(x,x²+2) = 2,3x(x²+2)是偶完全立方数,有8 | 3x(x²+2).
然而由x为偶数,可设x = 2y,得x²+2 = 4y²+2 = 2(2y²+1).
即x²+2被2整除但不被4整除,于是4 | 3x,即得4 | x,所证结论成立.
假设这个三个连续的正整数分别是:a-1,a,a+1(a 为大于1的整数)
所以这个三个正整数的立方和为:(a-1)^3+a^3+(a+1)^3
=a^3-3a^2+3a-1+a^3+a^3+3a^2+3a+1
=3a^3+6a
...
全部展开
假设这个三个连续的正整数分别是:a-1,a,a+1(a 为大于1的整数)
所以这个三个正整数的立方和为:(a-1)^3+a^3+(a+1)^3
=a^3-3a^2+3a-1+a^3+a^3+3a^2+3a+1
=3a^3+6a
=3a(a^2+2)
满足条件的a只有4
求证这3个正整数的算术平均数是4的倍数
即a是4的倍数
得证
(这道题在一定程度上靠记忆,除4以外应该没有能成立的)
望采纳
收起
4