如果a、b、c是一个任意三角形的三条边,试证明:不论x取任何实数,总有b2x2+(b2+c2-a2)x+c2>0.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 16:58:34
![如果a、b、c是一个任意三角形的三条边,试证明:不论x取任何实数,总有b2x2+(b2+c2-a2)x+c2>0.](/uploads/image/z/3708504-0-4.jpg?t=%E5%A6%82%E6%9E%9Ca%E3%80%81b%E3%80%81c%E6%98%AF%E4%B8%80%E4%B8%AA%E4%BB%BB%E6%84%8F%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E7%9A%84%E4%B8%89%E6%9D%A1%E8%BE%B9%2C%E8%AF%95%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%E4%B8%8D%E8%AE%BAx%E5%8F%96%E4%BB%BB%E4%BD%95%E5%AE%9E%E6%95%B0%2C%E6%80%BB%E6%9C%89b2x2%2B%28b2%2Bc2-a2%29x%2Bc2%EF%BC%9E0.)
如果a、b、c是一个任意三角形的三条边,试证明:不论x取任何实数,总有b2x2+(b2+c2-a2)x+c2>0.
如果a、b、c是一个任意三角形的三条边,试证明:不论x取任何实数,总有b2x2+(b2+c2-a2)x+c2>0.
如果a、b、c是一个任意三角形的三条边,试证明:不论x取任何实数,总有b2x2+(b2+c2-a2)x+c2>0.
判别式
=(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2
=(b^2+c^2-a^2+2bc)(b^2+c^2-a^2-2bc)
=(b+c+a)(b+c-a)(b-c-a)(b-c+a)
b+c+a>0
b+c-a>0
b-c-a<0
b-c+a>0
所以判别式<0
所以不论x去任何实数,总有b平方x平方+(b平方+c平方-a平方)x+c平方>0
△=(b²+c²-a²)²-4b²c²=……=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)
因为abc是三角形的三边,
所以a+b+c>0,b+c-a>0,b-c+a=b+a-c>0,b-c-a=b-(c+a)<0
所以(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)<0,即△<0
全部展开
△=(b²+c²-a²)²-4b²c²=……=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)
因为abc是三角形的三边,
所以a+b+c>0,b+c-a>0,b-c+a=b+a-c>0,b-c-a=b-(c+a)<0
所以(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)<0,即△<0
所以原不等式的解集是全体实数,即“不论……”
说明1,当△<0时,抛物线y=b²x²+(b²+c²-a²)x+c²与x轴没有交点,全部在x轴的上方,所以y总是大于0.
2,上面各个因式的符号是利用三角形三边关系得到的。例如由于b+c>a,所以b+c-a>0……。
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