高数,极限和导数问题F'(a)>0,根据保号性推出,存在ε>0使得当00则F(x)在a的一个邻域内递增,为什么是错的?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 00:45:29
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高数,极限和导数问题F'(a)>0,根据保号性推出,存在ε>0使得当00则F(x)在a的一个邻域内递增,为什么是错的?
高数,极限和导数问题
F'(a)>0,根据保号性推出,存在ε>0使得当00则F(x)在a的一个邻域内递增,
为什么是错的?
高数,极限和导数问题F'(a)>0,根据保号性推出,存在ε>0使得当00则F(x)在a的一个邻域内递增,为什么是错的?
错误的原因如下:
由导数的定义可知,
F'(a)=lim(Δx->0)(F(a + Δx) - F(a)) / Δx >0,
显然导数包括左导数与右导数,我们不妨先从右导数考虑,即:
F'(a)=lim(Δx->0+)(F(a + Δx) - F(a)) / Δx >0,(此时Δx从正向趋近于0,即Δx >0)
由极限的局部保号性可知,存在一个ε>0,使得0 0;
该式只能表明在x ∈[a,a+ε)这个区间上时,函数F(x)有最小值F(a);
同理,当考虑其左导数(即Δx从负向趋近于0)时,
只能得出在x ∈(a-ε,a]这个区间上时,函数F(x)有最大值F(a);
综上最多只能推出当x1、x2∈(a-ε,a+ε)且x1 > a > x2 时,有F(x1)>F(x2),而不能推出你的结论,即F(x)在a的一个邻域内递增.
从理解上来说,在这个求导取极限的过程中,是将所有x在x=a附近的邻域的函数值与F(a)进行比较,而要得出你的结论,即F'(a)>0则F(x)在a的一个邻域(不妨设为(a-ε,a+ε),ε>0)内递增,那么必须要能够比较在该区间上任意两个函数值的大小,而实际上,例如比较F(a+ε/2)和F(a+ε/3)的大小,而这根据F'(a)> 0是无法得出大小比较的.所以你的结论是错误的;或者说结论太强,可能需要补充更多的条件才能够得出.