已知抛物线方程x^2=4y,过点P(t,-4)作抛物线的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.10已知抛物线方程x^2=4y,过点P(t,-4)作抛物线的两条切线PA、PB,切点分别为A、B.1)求证:直线AB过定点(0、4);
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 11:31:43
![已知抛物线方程x^2=4y,过点P(t,-4)作抛物线的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.10已知抛物线方程x^2=4y,过点P(t,-4)作抛物线的两条切线PA、PB,切点分别为A、B.1)求证:直线AB过定点(0、4);](/uploads/image/z/4071460-4-0.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF%E6%96%B9%E7%A8%8Bx%5E2%3D4y%2C%E8%BF%87%E7%82%B9P%28t%2C-4%29%E4%BD%9C%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF%E7%9A%84%E4%B8%A4%E6%9D%A1%E5%88%87%E7%BA%BFPA%2CPB%2C%E5%88%87%E7%82%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAA%2CB.10%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF%E6%96%B9%E7%A8%8Bx%5E2%3D4y%2C%E8%BF%87%E7%82%B9P%EF%BC%88t%2C-4%EF%BC%89%E4%BD%9C%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF%E7%9A%84%E4%B8%A4%E6%9D%A1%E5%88%87%E7%BA%BFPA%E3%80%81PB%2C%E5%88%87%E7%82%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAA%E3%80%81B.1%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E7%9B%B4%E7%BA%BFAB%E8%BF%87%E5%AE%9A%E7%82%B9%EF%BC%880%E3%80%814%EF%BC%89%3B)
已知抛物线方程x^2=4y,过点P(t,-4)作抛物线的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.10已知抛物线方程x^2=4y,过点P(t,-4)作抛物线的两条切线PA、PB,切点分别为A、B.1)求证:直线AB过定点(0、4);
已知抛物线方程x^2=4y,过点P(t,-4)作抛物线的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.10
已知抛物线方程x^2=4y,过点P(t,-4)作抛物线的两条切线PA、PB,切点分别为A、B.
1)求证:直线AB过定点(0、4);
已知抛物线方程x^2=4y,过点P(t,-4)作抛物线的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.10已知抛物线方程x^2=4y,过点P(t,-4)作抛物线的两条切线PA、PB,切点分别为A、B.1)求证:直线AB过定点(0、4);
已知抛物线方程x²=4y,过点P(t,-4)作抛物线的两条切线PA、PB,切点分别为A、B;求证:直线AB过定点(0,4).
设过P的切线方程为y=k(x-t)-4,代入抛物线方程得x²-4[k(x-t)-4]=x²-4kx+4kt+16=0
令其判别式△=16k²-4(4kt+16)=16k²-16tk-64=0,即有k²-tk-4=0,故得k=[t±√(t²+16)]/2,
设PA的斜率k₁=[t-√(t²+16)]/2,PB的斜率k₂=[t+√(t²+16)]/2;
对抛物线y=x²/4取导数得y'=x/2;
令[t-√(t²+16)]/2=x/2,得x₁=t-√(t²+16),y₁=(1/4)[t-√(t²+16))]²=(1/2)[t²-t√(t²+16)+8];
即切点A的坐标为(t-√(t²+16),(1/2)[t²-t√(t²+16)+8]);
再令[t+√(t²+16)]/2=x/2,得x₂=t+√(t²+16);y₂=(1/4)[t+√(t²+16))]²=(1/2)[t²+t√(t²+16)+8];
即切点B的坐标为(t+√(t²+16),(1/2)[t²+t√(t²+16)+8]);
故AB所在直线的斜率K=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)=[t√(t²+16)]/[2√(t²+16)]=t/2;
AB所在直线的方程为:
y=(t/2)(x-x₂)+y₂=(t/2)[x-t-√(t²+16)]+(1/2)[t²+t√(t²+16)+8]=(t/2)(x-t)+(1/2)(t²+8)=(t/2)x+4
当x=0时y=4,即不论t值任何,AB所在的直线都过定点(0,4).故证.