如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值. 第二问要用传统
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 15:07:59
![如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值. 第二问要用传统](/uploads/image/z/4351666-58-6.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E4%B8%89%E6%A3%B1%E6%9F%B1ABC-A1B1C1%E4%B8%AD%2CCA%3DCB%2CAB%3DA+A1%2C%E2%88%A0BA+A1%3D60%C2%B0.%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E4%B8%89%E6%A3%B1%E6%9F%B1ABC-A1B1C1%E4%B8%AD%2CCA%3DCB%2CAB%3DA+A1%2C%E2%88%A0BA+A1%3D60%C2%B0.%28%E2%85%A0%29%E8%AF%81%E6%98%8EAB%E2%8A%A5A1C%3B%28%E2%85%A1%29%E8%8B%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABC%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2AA1B1B%2CAB%3DCB%3D2%2C%E6%B1%82%E7%9B%B4%E7%BA%BFA1C%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2BB1C1C%E6%89%80%E6%88%90%E8%A7%92%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E5%80%BC.++%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E9%97%AE%E8%A6%81%E7%94%A8%E4%BC%A0%E7%BB%9F)
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值. 第二问要用传统
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
第二问要用传统方法解
不要用空间向量
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值. 第二问要用传统
(I)过A1作A1D⊥AB交AB于D,连接CD
因AB=AA1,∠BAA1=60°
易知⊿ABA1为正三角形
则AA1=BA1
所以A1D为AB边的中线,即D为AB中点(三线合一)
又CA=CB,表明⊿ACB为等腰三角形
则CD为AB边上的高,即CD⊥AB(三线合一)
因AB⊥A1D,且AB⊥CD
而A1D交CD于平面A1CD
则AB⊥平面A1CD
而A1C⊂平面A1CD
所以AB⊥A1C
(I)连接BC1、CB1交于O,连接A1O
过A1作A1H⊥CB1交CB1于H
因CA=CB=AB=AA1(即三棱柱所有棱长相等)
易知四边形BB1C1C为菱形
则BC1⊥CB1
又⊿ABA1为正三角形
则A1B=AB=A1C1
由此知⊿BA1C1为等腰三角形
易知BC1⊥A1O(三线合一)
又CB1交A1O于平面A1CB1
则BC1⊥平面A1CB1
而A1H⊂平面A1CB1
则A1H⊥BC1
又A1H⊥CB1
而BC1交CB1于平面BB1C1C
则A1H⊥平面BB1C1C
由此表明∠A1CH即为A1C与平面BB1C1C所成角的平面角
因平面ABC⊥平面AA1B1B
且A1D⊥AB
且A1D⊂平面AA1B1B
且AB为平面ABC与平面AA1B1B的交线
则A1D⊥平面ABC
而CD⊂平面ABC
则A1D⊥CD
表明⊿A1DC为RT⊿
又易知⊿ABA1、⊿ABC均为边长相等的全等正三角形
且D为AB的中点
则A1D=CD
表明RT⊿A1DC为等腰直角三角形
在RT⊿A1DC中,易知A1D=CD=√3
则A1C=√6
由(I)知AB⊥A1C
而A1B1//AB
则A1B1⊥A1C
表明⊿A1CB1为RT⊿
由勾股定理知CB1=√10
又A1H⊥CB1
则易知RT⊿A1CB1∽RT⊿A1HB1
于是A1H=A1C*A1B1/CB1=2√15/5
在RT⊿A1CH中
由三角函数定义知sin∠A1CH=A1H/A1C=√10/5