矩形ABCD中,点O是AC的中点,AC=2AB,延长AB至G,使BG=AB,连接GO交BC于E,延长GO交AD于F……求证:四边形AECF是菱形
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 17:17:09
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矩形ABCD中,点O是AC的中点,AC=2AB,延长AB至G,使BG=AB,连接GO交BC于E,延长GO交AD于F……求证:四边形AECF是菱形
矩形ABCD中,点O是AC的中点,AC=2AB,延长AB至G,使BG=AB,连接GO交BC于E,延长GO交AD于F……
求证:四边形AECF是菱形
矩形ABCD中,点O是AC的中点,AC=2AB,延长AB至G,使BG=AB,连接GO交BC于E,延长GO交AD于F……求证:四边形AECF是菱形
连接CG因为在矩形ABCD中AC=2AB,BG=AB,所以AG=AC,角CAG=60°,所以△ACG是等边三角形,因为O为AC的中点,所以GF⊥AC,
因为在矩形ABCD中BC‖AD,所以∠DAC=∠BCA,∠AOF=∠COE=90°.
所以△AOF全等于△COE,所以CE=AF,所以四边形AECF是平行四边形
所以四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)
AG=2AB=AC,AB=AO,∠GAO=∠CAB
∴△GAO≌△CAB
∴∠GOA=∠CBA=90°,GO⊥AC
而AO=AC,所以EF⊥平分AC,
∴AE=EC
而RT△ABC中2AB=AC,所以,∠BCA=30°,∠BAC=60°
同理∠AGF=30°
而CB⊥平分AG,所以∠AGE=∠GAE=30°
所以∠EAF=60°=∠E...
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AG=2AB=AC,AB=AO,∠GAO=∠CAB
∴△GAO≌△CAB
∴∠GOA=∠CBA=90°,GO⊥AC
而AO=AC,所以EF⊥平分AC,
∴AE=EC
而RT△ABC中2AB=AC,所以,∠BCA=30°,∠BAC=60°
同理∠AGF=30°
而CB⊥平分AG,所以∠AGE=∠GAE=30°
所以∠EAF=60°=∠EFA
所以△EAF等边
所以AO垂直平分EF
所以得证
收起
∵∠AOF = ∠COE,AO = CO,∠OAF = ∠OCE
∴△AOF ≌ △COE
∴AF = CE,又∵AF‖CE,∴四边形AECF是平行四边形(平行且相等)
∵BE⊥AG且平分AG,∴AE = GE
在△GAF中,BE是中位线,∴EF = GE
∴AE = EF
∴四边形AECF是菱形(临边相等的平行四边形是菱形)...
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∵∠AOF = ∠COE,AO = CO,∠OAF = ∠OCE
∴△AOF ≌ △COE
∴AF = CE,又∵AF‖CE,∴四边形AECF是平行四边形(平行且相等)
∵BE⊥AG且平分AG,∴AE = GE
在△GAF中,BE是中位线,∴EF = GE
∴AE = EF
∴四边形AECF是菱形(临边相等的平行四边形是菱形)
收起
证明:连接CG,∵在矩形ABCD中AC=2AB,BG=AB,
∴AG=AC,∠CAG=60°,
∴△ACG是等边三角形,
∵O为AC的中点,
∴GF⊥AC,
∵在矩形ABCD中,BC‖AD,
∴∠DAC=∠BCA,AO=OC,∠AOF=∠COE=90°,
∴△AOF≌△COE,
∴CE=AF,
∴四边形AECF是平行四边形,<...
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证明:连接CG,∵在矩形ABCD中AC=2AB,BG=AB,
∴AG=AC,∠CAG=60°,
∴△ACG是等边三角形,
∵O为AC的中点,
∴GF⊥AC,
∵在矩形ABCD中,BC‖AD,
∴∠DAC=∠BCA,AO=OC,∠AOF=∠COE=90°,
∴△AOF≌△COE,
∴CE=AF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
收起
∵AC=2AB
∴Rt△ABC中,∠ACB=30° ∠BAO=60°
∴△AEG是正三角形
∴AO=AB AC=AG
∴△CAB≌△GAO
∴∠AGO=30°
∴∠AFE=60°
∵BG=AB AG⊥BE
∴△AEG是等腰三角形
∴AE=EG=EF(中位线定理,B是中点,则E是中点)
∴△AEF是正三角形<...
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∵AC=2AB
∴Rt△ABC中,∠ACB=30° ∠BAO=60°
∴△AEG是正三角形
∴AO=AB AC=AG
∴△CAB≌△GAO
∴∠AGO=30°
∴∠AFE=60°
∵BG=AB AG⊥BE
∴△AEG是等腰三角形
∴AE=EG=EF(中位线定理,B是中点,则E是中点)
∴△AEF是正三角形
∴∠EAO=30°
∴AO平分且垂直EF
∵EF平分且垂直AC
∴四边形AECF是菱形
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