四边形abcd中,bc>ba,ad=dc,bd平分∠abc,dh垂直bc,求证:bh=2分之1(ab+bc)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 07:05:03
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四边形abcd中,bc>ba,ad=dc,bd平分∠abc,dh垂直bc,求证:bh=2分之1(ab+bc)
四边形abcd中,bc>ba,ad=dc,bd平分∠abc,dh垂直bc,求证:bh=2分之1(ab+bc)
四边形abcd中,bc>ba,ad=dc,bd平分∠abc,dh垂直bc,求证:bh=2分之1(ab+bc)
题目
四边形ABCD中,BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC,DH垂直BC,求证:HB=(AB+BC)/2
解析:
HB=(AB+BC)/2,那么,以下的辅助线作完后,只要证明DH是BE的中点即可.
证明:
过D作DF=DC,交BC于F点;
延长BC到E点,使CE=AB,连接DE;
过D作DG⊥AB,交AB延长线于G点
∵ BD平分∠ABC,DG⊥AB,DH⊥BC
∴ ∠ABD=∠CBD=(1/2)×∠ABC
DG=DH
∠DGB=∠DHB=Rt∠=90°
∵ DF=DC,AD=DC,已求得:DG=DH
∴ △AGD ≌△FHD 【两个直角三角形的斜边和一直角边相等,这两个三角形全等】
∠ADG=∠FDH
同理:
△BGD ≌△BHD 【两个直角三角形的斜边和一直角边相等,这两个三角形全等】
∠GDB=∠HDB
∵ 已求得:∠ADG=∠FDH,∠GDB=∠HDB
∴ ∠GDB-∠GDB=∠HDB-∠FDH,即:
∠ADB=∠FDB
∵ AD=DC,∠ADB=∠FDB ,△ADB 与△FDB共边BD
∴ △ADB ≌△FDB 【“边角边”判定全等三角形】
AB=FB
∵ DF=DC,AD=DC,DH⊥BC
∴ AD=DC=DF
DH为等腰△DCF的中线
∠DFH=∠DCH 可推导出:∠DCE=∠DFB
∵ DC=DF,∠DCE=∠DFB,CE=AB ,AB=FB
∴ △CDE ≌△FDB 【“边角边”判定全等三角形】
BD=DE,推导出:△BDE为等腰三角形
∵ DH⊥BC,已求得:△BDE为等腰三角形
∴ DH为 等腰△BDE的中线,
BH=HE=BE/2
∵ CE=AB,BE=BC+CE
∴ BH=(BC+CE)/2
=(BC+AB)/2