如图所示,D为等边△ABC的AB边上一点,以CD为一边,向上作等边△CDE,连接AE.求证:AE‖BC(要求有详细的推理过程)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 19:55:07
![如图所示,D为等边△ABC的AB边上一点,以CD为一边,向上作等边△CDE,连接AE.求证:AE‖BC(要求有详细的推理过程)](/uploads/image/z/5111840-56-0.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%E6%89%80%E7%A4%BA%2CD%E4%B8%BA%E7%AD%89%E8%BE%B9%E2%96%B3ABC%E7%9A%84AB%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E4%BB%A5CD%E4%B8%BA%E4%B8%80%E8%BE%B9%2C%E5%90%91%E4%B8%8A%E4%BD%9C%E7%AD%89%E8%BE%B9%E2%96%B3CDE%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5AE.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AAE%E2%80%96BC%EF%BC%88%E8%A6%81%E6%B1%82%E6%9C%89%E8%AF%A6%E7%BB%86%E7%9A%84%E6%8E%A8%E7%90%86%E8%BF%87%E7%A8%8B%EF%BC%89)
如图所示,D为等边△ABC的AB边上一点,以CD为一边,向上作等边△CDE,连接AE.求证:AE‖BC(要求有详细的推理过程)
如图所示,D为等边△ABC的AB边上一点,以CD为一边,向上作等边△CDE,连接AE.求证:AE‖BC(要求有详细的推理过程)
如图所示,D为等边△ABC的AB边上一点,以CD为一边,向上作等边△CDE,连接AE.求证:AE‖BC(要求有详细的推理过程)
∵△ABC和△CDE为等边三角形
∴AC=BC;EC=DC
∠ACB=60°;∠ECD=60°
∴∠ACB=∠ECD
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD
即∠DCB=∠ECA
在△DCB和△ECA中
EC=DC
∠DCB=∠ECA
AC=BC
∴△DCB≌△ECA(S.A.S)
∴∠EAC=∠B∴∠EAC
∵∠ACB=60°
∴∠EAC=∠ACB
∴AE‖BC(内错角相等,两直线平行)
因为角dac=角dec,所以acde四点共园(同弦所对的圆周角相等),所以角eac=角edc=60°
则有角eac=角acb=60°,所以ae平行bc
∵△ABC和△CDE为等边△
∴AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD
即∠ACE=∠BCD
又AC=BC,CE=CD
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴∠EAC=∠ABC
∴∠EAC=∠ACB
∴AE‖BC
先证△AEC与△BDC全等,因为EC=DC(等边△),AC=BC(等边△),角ACE=角BCD
所以角EAC=角DBC=60度,等于角ACB,所以角BCA=角CAE,内错角相等,两线平行。
因为EDC相似于ABC
所以DC分之BC=EC分之AC
角ECD=角ACB
角ECD-角ACD=角ACB-角ACD
即角ACE=角BCD
又因为ACE相似于BCD
所以角EAC=角B
因为在ABC中
AB=AC
所以角B=角ACB
角EAC=角ACB
所以AE平行BC
设角ADE为α,角DCB为α…… 由三角形ADF与ECF相似,得到AF/FD=EF/FC 即三角形AFE与三角形DFC相似, 则较CAE=60 即AE//BC