若函数f(x)是以T为周期的连续函数,试证:(1)∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2) f(x)dx(2)∫(0,T)f(x)dx=0,当f(x)为奇函数时.、(a,a+T)中,a是下限,a+T是上限,后面同理,求详解
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 04:41:21
![若函数f(x)是以T为周期的连续函数,试证:(1)∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2) f(x)dx(2)∫(0,T)f(x)dx=0,当f(x)为奇函数时.、(a,a+T)中,a是下限,a+T是上限,后面同理,求详解](/uploads/image/z/5349274-34-4.jpg?t=%E8%8B%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E6%98%AF%E4%BB%A5T%E4%B8%BA%E5%91%A8%E6%9C%9F%E7%9A%84%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E8%AF%95%E8%AF%81%3A%281%29%E2%88%AB%28a%2Ca%2BT%29f%28x%29dx%3D%E2%88%AB%280%2CT%29f%28x%29dx%3D%E2%88%AB%28-T%2F2%2CT%2F2%EF%BC%89+f%28x%29dx%282%29%E2%88%AB%280%2CT%29f%28x%29dx%3D0%2C%E5%BD%93f%28x%29%E4%B8%BA%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%97%B6.%E3%80%81%28a%2Ca%2BT%29%E4%B8%AD%2Ca%E6%98%AF%E4%B8%8B%E9%99%90%2Ca%2BT%E6%98%AF%E4%B8%8A%E9%99%90%2C%E5%90%8E%E9%9D%A2%E5%90%8C%E7%90%86%2C%E6%B1%82%E8%AF%A6%E8%A7%A3)
若函数f(x)是以T为周期的连续函数,试证:(1)∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2) f(x)dx(2)∫(0,T)f(x)dx=0,当f(x)为奇函数时.、(a,a+T)中,a是下限,a+T是上限,后面同理,求详解
若函数f(x)是以T为周期的连续函数,试证:(1)∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2) f(x)dx
(2)∫(0,T)f(x)dx=0,当f(x)为奇函数时.、
(a,a+T)中,a是下限,a+T是上限,后面同理,求详解
若函数f(x)是以T为周期的连续函数,试证:(1)∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2) f(x)dx(2)∫(0,T)f(x)dx=0,当f(x)为奇函数时.、(a,a+T)中,a是下限,a+T是上限,后面同理,求详解
1,∫(0,T)f(x)dx=T/n(f(T/n)+f(2T/n).f(nT/n))当n趋向于无穷的的极限
∫(a,a+T)f(x)dx=T/n(f(a+T/n)+f(a+2T/n).f(a+nT/n))当n趋向于无穷的的极限
下面对第二个化简
因为周期是T所以f(a+kT/n)=f(kT/n)
所以T/n(f(a+T/n)+f(a+2T/n).f(a+nT/n))=T/n(f(T/n)+f(2T/n).f(nT/n))
所以)∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx,代入a=-T/2
可得∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2)f(x)dx
所以的证原命题
2,就是求∫(-T/2,T/2)f(x)dx根据区间可拆分性质
∫(-T/2,T)f(x)dx=
∫(0,T/2)f(x)dx+∫(-T/2,0)f(x)dx,分别用上面的式子展开
再利用奇函数f(x)=-f(-x)的性质
相加之后便可得到结果
希望有所帮助
(1)∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2) f(x)dx
对于上式,先证明左侧等式 ∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx
令 F(x) = ∫(a,a+T)f(x)dx - ∫(0,T)f(x)dx
= [∫(a,T)f(x)dx + ∫(T,a+T)f(x)dx] - [∫(0,a)...
全部展开
(1)∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2) f(x)dx
对于上式,先证明左侧等式 ∫(a,a+T)f(x)dx=∫(0,T)f(x)dx
令 F(x) = ∫(a,a+T)f(x)dx - ∫(0,T)f(x)dx
= [∫(a,T)f(x)dx + ∫(T,a+T)f(x)dx] - [∫(0,a)f(x)dx +∫(a,T)f(x)dx]
= ∫(T,a+T)f(x)dx - ∫(0,a)f(x)dx
= ∫(0,a)f(y+T)dy [令y=x-T ] - ∫(0,a)f(x)dx
= ∫(0,a)f(x+T)dx [仅替换变量字母不改变原式 ] - ∫(0,a)f(x)dx
= ∫(0,a)[f(x+T) - f(x)] dx
因为 函数f(x)是以T为周期的连续函数,所以 f(x+T) = f(x),所以f(x+T) - f(x)=0
所以 ∫(0,a)[f(x+T) - f(x)] dx =0,也即 F(x) = ∫(a,a+T)f(x)dx - ∫(0,T)f(x)dx = 0
由此得证 ∫(a,a+T)f(x)dx = ∫(0,T)f(x)dx
再次证明等式右边 ∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2) f(x)dx
∫(-T/2,T/2) f(x)dx =∫(0,T)f(x)dx
将上面证明中的a替换成 -T/2,证明方法一模一样。
(2)、利用第(1)题中得等式 ∫(0,T)f(x)dx=∫(-T/2,T/2) f(x)dx
对于 ∫(-T/2,T/2) f(x)dx,被积函数f(x)是奇函数,且积分区间是关于y轴对称,有定积分的对称性原理可知:∫(-T/2,T/2) f(x)dx = 0
因此 ∫(0,T)f(x)dx = 0
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