四边形ABCD是正方形,P是对角线AC上任意一点,过P作EF和GH分别平行于BC和CD交各边于E、F、G、H,求证:E、G、F、H四点在一个圆上
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 17:42:04
![四边形ABCD是正方形,P是对角线AC上任意一点,过P作EF和GH分别平行于BC和CD交各边于E、F、G、H,求证:E、G、F、H四点在一个圆上](/uploads/image/z/5379090-42-0.jpg?t=%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD%E6%98%AF%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%2CP%E6%98%AF%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BFAC%E4%B8%8A%E4%BB%BB%E6%84%8F%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E8%BF%87P%E4%BD%9CEF%E5%92%8CGH%E5%88%86%E5%88%AB%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E4%BA%8EBC%E5%92%8CCD%E4%BA%A4%E5%90%84%E8%BE%B9%E4%BA%8EE%E3%80%81F%E3%80%81G%E3%80%81H%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AE%E3%80%81G%E3%80%81F%E3%80%81H%E5%9B%9B%E7%82%B9%E5%9C%A8%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E4%B8%8A)
四边形ABCD是正方形,P是对角线AC上任意一点,过P作EF和GH分别平行于BC和CD交各边于E、F、G、H,求证:E、G、F、H四点在一个圆上
四边形ABCD是正方形,P是对角线AC上任意一点,过P作EF和GH分别平行于BC和CD交各边于E、F、G、H,求证:E、G、F、H四点在一个圆上
四边形ABCD是正方形,P是对角线AC上任意一点,过P作EF和GH分别平行于BC和CD交各边于E、F、G、H,求证:E、G、F、H四点在一个圆上
楼主那里有图吧!那我就不用画了
∵EF‖BC‖AD,GH‖AB‖CD
且P在对角线AC上面
∴正方形AEPG,PHCF
∴PE=PG,PH=PF,GH=EF=正方形边长
(那么您是否发现四边形EHFG是个等腰梯形呢?)
(那么您又是否知道所有等腰梯形都可以内接于一个圆)
知道这些,问题就出来了
∵四边形EHFG是等腰梯形,那么就可以内接在一个圆中
∴E,H,F,G可以在同一圆上的
例2(全国竞赛题).如图10,在,在正方形ABCD中,P是对角线AC上任意一点,过P点作EF和GH分别平行于BC和AB,交各边于点E、F、G、H,求证: E、F、G、H四点在同一个圆上.
【解】当EF和GH 运动到正方形边上时,可猜想过E、F、G、H四点的圆的圆心在正方形的中心O.
在一般情形下进行证明.由正方形的对称性知OE=OH、OG=OF.故只需证OG=OE即可.而连结OB,...
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例2(全国竞赛题).如图10,在,在正方形ABCD中,P是对角线AC上任意一点,过P点作EF和GH分别平行于BC和AB,交各边于点E、F、G、H,求证: E、F、G、H四点在同一个圆上.
【解】当EF和GH 运动到正方形边上时,可猜想过E、F、G、H四点的圆的圆心在正方形的中心O.
在一般情形下进行证明.由正方形的对称性知OE=OH、OG=OF.故只需证OG=OE即可.而连结OB,由基本图形2易证
收起
提示:可以证明EFGH是等腰梯形(P点与EFGH四点把正方形ABCD分成了两个正方形和两个矩形),故:对角之和等于180度
故:E、G、F、H四点在一个圆上
设E在AB上,G在BC上.E,H及F,G分别关于轴AC对称.作EG中垂线交AC于O,OE=OG=OF=OH,
E、G、F、H四点在一个圆上