在三角形ABC中,点M是BC的中点,点N是边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交与点P,求AP:PM的值用向量证
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 18:04:19
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在三角形ABC中,点M是BC的中点,点N是边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交与点P,求AP:PM的值用向量证
在三角形ABC中,点M是BC的中点,点N是边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交与点P,求AP:PM的值
用向量证
在三角形ABC中,点M是BC的中点,点N是边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交与点P,求AP:PM的值用向量证
过N点作NQ平行于BC交AM于Q点
∵NQ//CM,且AN=2NC
∴AQ=2QM,NQ=2/3MC
∵NQ//BM,且∠QPN=∠MPB
∴△PQN∽△PMB
∵BM=MC,QN=2/3MC
∴PQ=2/3MP
AP=AQ+PQ=6PQ
∴AP:PM=4:1
设BM=e1,CN=e2,
则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=2e1+e2.
∵A、P、M和B、P、N分别共线, ∴存在λ、μ∈R,使得:
AP=λAM=-λe1-3λe2,BP=μBN=2μe1+μe2.
故BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2. 而BA=BC+CA=2e1+3e2,
由基本定理得:...
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设BM=e1,CN=e2,
则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=2e1+e2.
∵A、P、M和B、P、N分别共线, ∴存在λ、μ∈R,使得:
AP=λAM=-λe1-3λe2,BP=μBN=2μe1+μe2.
故BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2. 而BA=BC+CA=2e1+3e2,
由基本定理得:λ+2μ=2, 3λ+μ=3 解得:λ=4/5, μ=3/5
∴AP=4AM/5===>AP:AM=4:5
∴AP∶PM=4∶1.
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