如图EFGH是正方形ABCD的内接四边形,两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ且∠BEG与∠CFH都是锐角,已知EG=k,FH=l四边形EFGH的面积为S.试用kLS表示正方形ABCD的面积.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 01:36:24
![如图EFGH是正方形ABCD的内接四边形,两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ且∠BEG与∠CFH都是锐角,已知EG=k,FH=l四边形EFGH的面积为S.试用kLS表示正方形ABCD的面积.](/uploads/image/z/6708160-64-0.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BEEFGH%E6%98%AF%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2ABCD%E7%9A%84%E5%86%85%E6%8E%A5%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2%2C%E4%B8%A4%E6%9D%A1%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BFEG%E5%92%8CFH%E6%89%80%E5%A4%B9%E7%9A%84%E9%94%90%E8%A7%92%E4%B8%BA%CE%B8%E4%B8%94%E2%88%A0BEG%E4%B8%8E%E2%88%A0CFH%E9%83%BD%E6%98%AF%E9%94%90%E8%A7%92%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5EG%3Dk%2CFH%3Dl%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2EFGH%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E4%B8%BAS.%E8%AF%95%E7%94%A8kLS%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2ABCD%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF.)
如图EFGH是正方形ABCD的内接四边形,两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ且∠BEG与∠CFH都是锐角,已知EG=k,FH=l四边形EFGH的面积为S.试用kLS表示正方形ABCD的面积.
如图EFGH是正方形ABCD的内接四边形,两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ且∠BEG与∠CFH都是锐角,已知EG=k,
FH=l四边形EFGH的面积为S.试用kLS表示正方形ABCD的面积.
如图EFGH是正方形ABCD的内接四边形,两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ且∠BEG与∠CFH都是锐角,已知EG=k,FH=l四边形EFGH的面积为S.试用kLS表示正方形ABCD的面积.
引理:sinθ=2S\kl
证明:S=S△EFG+S△EHG,
=S△EOF+S△GOF+S△EOH+S△GOH,
=1\2 EO•OF•sinθ+1\2GO•OF•sin(180°-θ)
+1\2EO•OH•sin(180°-θ)+1\2 GO•OH•sinθ
=1\2EG•OF•sinθ+1\2EG•OH•sinθ
=1\2EG•FH•sinθ=1\2kl•sinθ
所以sinθ=2S\kl
过E、F、G、H分别作AB、BC、CD、DA的垂线,得矩形PQRT.
设正方形ABCD的边长为a,PQ=b,QR=c,
则b=根号(k2 -a2),c=根号(l2 -a2),
由S△AEH=S△TEH,S△BEF=S△PEF,S△GFC=S△QFG,S△DGH=S△RGH
得SABCD+SPQRT=2S,
∴a2+bc=2S,即a2+根号(k2-a2)•根号(l2-a2 ) =2S,
∴(k2+l2-4S)a2=k2l2-4S2,
由引理知kl=2S\sinθ>2S,
所以k2+l2≥2kl>4S,
故SABCD=a2=(k2l2-4S2)\(k2+l2-4S)