一个是有关勒让德多项式的,一个是平方误差和傅里叶级数有关的,我算了很多遍,都没有算对,答案方法是Pn(x)求两次导数,再求n阶导数,但我始终算不对,而且题目等式中右边的P(x)应该是Pn
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 03:10:24
![一个是有关勒让德多项式的,一个是平方误差和傅里叶级数有关的,我算了很多遍,都没有算对,答案方法是Pn(x)求两次导数,再求n阶导数,但我始终算不对,而且题目等式中右边的P(x)应该是Pn](/uploads/image/z/6908878-46-8.jpg?t=%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%98%AF%E6%9C%89%E5%85%B3%E5%8B%92%E8%AE%A9%E5%BE%B7%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E7%9A%84%2C%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%98%AF%E5%B9%B3%E6%96%B9%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E5%92%8C%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E7%BA%A7%E6%95%B0%E6%9C%89%E5%85%B3%E7%9A%84%2C%E6%88%91%E7%AE%97%E4%BA%86%E5%BE%88%E5%A4%9A%E9%81%8D%2C%E9%83%BD%E6%B2%A1%E6%9C%89%E7%AE%97%E5%AF%B9%2C%E7%AD%94%E6%A1%88%E6%96%B9%E6%B3%95%E6%98%AFPn%EF%BC%88x%EF%BC%89%E6%B1%82%E4%B8%A4%E6%AC%A1%E5%AF%BC%E6%95%B0%2C%E5%86%8D%E6%B1%82n%E9%98%B6%E5%AF%BC%E6%95%B0%2C%E4%BD%86%E6%88%91%E5%A7%8B%E7%BB%88%E7%AE%97%E4%B8%8D%E5%AF%B9%2C%E8%80%8C%E4%B8%94%E9%A2%98%E7%9B%AE%E7%AD%89%E5%BC%8F%E4%B8%AD%E5%8F%B3%E8%BE%B9%E7%9A%84P%EF%BC%88x%EF%BC%89%E5%BA%94%E8%AF%A5%E6%98%AFPn)
一个是有关勒让德多项式的,一个是平方误差和傅里叶级数有关的,我算了很多遍,都没有算对,答案方法是Pn(x)求两次导数,再求n阶导数,但我始终算不对,而且题目等式中右边的P(x)应该是Pn
一个是有关勒让德多项式的,一个是平方误差和傅里叶级数有关的,
我算了很多遍,都没有算对,答案方法是Pn(x)求两次导数,再求n阶导数,但我始终算不对,而且题目等式中右边的P(x)应该是Pn(x)
答案就是我写在上面的黑字,那个∑(cn)^2怎么来的.
一个是有关勒让德多项式的,一个是平方误差和傅里叶级数有关的,我算了很多遍,都没有算对,答案方法是Pn(x)求两次导数,再求n阶导数,但我始终算不对,而且题目等式中右边的P(x)应该是Pn
第一个问题:
第二个问题:
设g(x) = f(x)-∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]e[k](x), μ[k] = c[k]-λ[k].
则对j = 1,2,...,n,有:
∫{a,b} g(x)e[j](x) dx = ∫{a,b} f(x)e[j](x) dx - ∫{a,b} ∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]e[k](x)e[j](x) dx
= c[j] - ∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]·∫{a,b} e[k](x)e[j](x) dx
= c[j] - ∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]·δ[k,j]
= c[j]-c[j]
= 0.
故∫{a,b} (f(x)-∑{1 ≤ k ≤ n} λ[k]e[k](x))² dx
= ∫{a,b} (g(x)+∑{1 ≤ k ≤ n} μ[k]e[k](x))² dx
= ∫{a,b} g(x)² dx + ∫{a,b} 2·∑{1 ≤ k ≤ n} μ[k]e[k](x)g(x) dx + ∫{a,b} (∑{1 ≤ k ≤ n} μ[k]e[k](x))² dx
≥ ∫{a,b} g(x)² dx + 2·∑{1 ≤ k ≤ n} μ[k]·∫{a,b} e[k](x)g(x) dx
= ∫{a,b} g(x)² dx.
只需证明∫{a,b} g(x)² dx = ∫{a,b} f(x)² dx - ∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]².
实际上, ∫{a,b} (∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]e[k](x))² dx
= ∫{a,b} (∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]e[k](x))(∑{1 ≤ j ≤ n} c[j]e[j](x)) dx
= ∫{a,b} ∑{1 ≤ k,j ≤ n} c[k]c[j]e[k](x)e[j](x) dx
= ∑{1 ≤ k,j ≤ n} c[k]c[j]·∫{a,b} e[k](x)e[j](x) dx
= ∑{1 ≤ k,j ≤ n} c[k]c[j]·δ[k,j]
= ∑{1 ≤ k = j ≤ n} c[k]c[j]
= ∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]²
于是∫{a,b} g(x)² dx
= ∫{a,b} (f(x)-∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]e[k](x))² dx
= ∫{a,b} f(x)² dx - ∫{a,b} 2·∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]e[k](x)f(x) dx + ∫{a,b} (∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]e[k](x))² dx
= ∫{a,b} f(x)² dx - 2·∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]·∫{a,b} e[k](x)f(x) dx + ∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]²
= ∫{a,b} f(x)² dx - ∑{1 ≤ k ≤ n} c[k]²,
即所求证.
注:从几何上比较容易理解这个结论.
但是需要一些线性代数的知识,以及函数空间的观点.
想了解的话请追问.